Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Площадь боковой поверхности призмы. Здравствуйте! В этой публикации мы с вами разберём группу задач по стереометрии. Рассмотрим комбинацию тел – призмы и цилиндра. На данный момент эта статья завершает всю серию статей связанных с рассмотрением типов заданий по стереометрии.

Если в банке заданий будут появляться новые, то, конечно же, будут и дополнения на блоге в будущем. Но и того что уже есть вполне достаточно, чтобы вы могли научиться решать все задачи с кратким ответом в составе экзамена. Материала хватит на годы вперёд (программа по математике статична).

Представленные задания связаны с вычислением площади призмы. Отмечу, что ниже рассматривается прямая призма (и соответственно прямой цилиндр).

Без знания всяких формул, мы понимаем, что боковая поверхность призмы это все её боковые грани. У прямой призмы боковые грани это прямоугольники.

Площадь боковой поверхности такой призмы равна сумме площадей всех её боковых граней (то есть прямоугольников). Если речь идёт о правильной призме, в которую вписан цилиндр, то понятно, что все грани этой призмы являются РАВНЫМИ прямоугольниками.

Формально площадь боковой поверхности правильной призмы можно отразить так:

27064. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Боковая поверхность данной призмы состоит из четырёх равных по площади прямоугольников. Высота грани равна 1, ребро основания призмы равно 2 (это два радиуса цилиндра), следовательно площадь боковой грани равна:

Площадь боковой поверхности:

73023. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен √0,12, а высота равна 3.

Площадь боковой поверхности данной призмы равна сумме площадей трёх боковых граней (прямоугольников). Для нахождения площади боковой грани необходимо знать её высоту и длину ребра основания. Высота равна трём. Найдём длину ребра основания. Рассмотрим проекцию (вид сверху):

Имеем правильный треугольник в который вписана окружность с радиусом √0,12. Из прямоугольного треугольника АОС можем найти АС. А затем и AD (AD=2АС). По определению тангенса:

Значит AD=2АС=1,2.Таким образом, площадь боковой поверхности равна:

27066. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен √75, а высота равна 1.

Искомая площадь равна сумме площадей всех боковых граней. У правильной шестиугольной призмы боковые грани это равные прямоугольники.

Для нахождения площади грани необходимо знать её высоту и длину ребра основания. Высота известна, она равна 1.

Найдём длину ребра основания. Рассмотрим проекцию (вид сверху):

Имеем правильный шестиугольник, в который вписана окружность радиуса √75.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВО. Нам известен катет ОВ (это радиус цилиндра). ещё можем определить угол АОВ, он равен 300 (треугольник АОС равносторонний, ОВ –биссектриса).

Воспользуемся определением тангенса в прямоугольном треугольнике:

АС=2АВ, так как ОВ является медианой, то есть делит АС пополам, значит АС=10.

Таким образом, площадь боковой грани равна 1∙10=10 и площадь боковой поверхности:

76485. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен 8√3, а высота равна 6.

Площадь боковой поверхности указанной призмы из трёх равных по площади граней (прямоугольников). Чтобы найти площадь требуется знать длину ребра основания призмы (высота нам известна). Если рассматривать проекцию (вид сверху), то имеем правильный треугольник вписанный в окружность. Сторона этого треугольника выражается через радиус как:

Подробности этой взаимосвязи . Значит она будет равна

Тогда площадь боковой грани равна: 24∙6=144. А искомая площадь:

245354. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 2. Площадь боковой поверхности призмы равна 48. Найдите высоту цилиндра.

Всё просто. Имеем четыре равных по площади боковые грани, следовательно площадь одной грани равна 48:4=12. Так как радиус основания цилиндра равен 2, то ребро основания призмы будет рано 4 – оно равно диаметру цилиндра (это два радиуса). Нам известна площадь грани и одно ребро, второе являющееся высотой будет равно 12:4=3.

27065. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен √3, а высота равна 2.

С уважением, Александр.

Призма. Параллелепипед

Призмой называется многогранник, две грани которого – равные n-угольники (основания) , лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней – параллелограммы (боковые грани) . Боковым ребром призмы называется сторона боковой грани, не принадлежащая основанию.

Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой призмой (рис. 1). Если боковые ребра не перпендикулярны плоскостям оснований, то призма называется наклонной . Правильной призмой называется прямая призма, основания которой – правильные многоугольники.

Высотой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. Диагональным сечением называется сечение призмы плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани. Перпендикулярным сечением называется сечение призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру призмы.

Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей всех боковых граней. Площадью полной поверхности называется сумма площадей всех граней призмы (т.е. сумма площадей боковых граней и площадей оснований).

Для произвольной призмы верны формулы :

где l – длина бокового ребра;

H – высота;

P

Q

S бок

S полн

S осн – площадь оснований;

V – объем призмы.

Для прямой призмы верны формулы:

где p – периметр основания;

l – длина бокового ребра;

H – высота.

Параллелепипедом называется призма, основанием которой служит параллелограмм. Параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны к основаниям, называется прямым (рис. 2). Если боковые ребра не перпендикулярны основаниям, то параллелепипед называется наклонным . Прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник, называется прямоугольным. Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими . Длины ребер, исходящих из одной вершины, называются измерениями параллелепипеда. Так как параллелепипед – это призма, то основные его элементы определяются аналогично тому, как они определены для призм.

Теоремы.

1. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

2. В прямоугольном параллелепипеде квадрат длины диагонали равен сумме квадратов трех его измерений:

3. Все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой.

Для произвольного параллелепипеда верны формулы:

где l – длина бокового ребра;

H – высота;

P – периметр перпендикулярного сечения;

Q – Площадь перпендикулярного сечения;

S бок – площадь боковой поверхности;

S полн – площадь полной поверхности;

S осн – площадь оснований;

V – объем призмы.

Для прямого параллелепипеда верны формулы:

где p – периметр основания;

l – длина бокового ребра;

H – высота прямого параллелепипеда.

Для прямоугольного параллелепипеда верны формулы:

(3)

где p – периметр основания;

H – высота;

d – диагональ;

a,b,c – измерения параллелепипеда.

Для куба верны формулы:

где a – длина ребра;

d – диагональ куба.

Пример 1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 33 дм, а его измерения относятся, как 2: 6: 9. Найти измерения параллелепипеда.

Решение. Для нахождения измерений параллелепипеда воспользуемся формулой (3), т.е. тем фактом, что квадрат гипотенузы прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Обозначим через k коэффициент пропорциональности. Тогда измерения параллелепипеда будут равны 2k , 6k и 9k . Запишем формулу (3) для данных задачи:

Решая это уравнение относительно k , получим:

Значит, измерения параллелепипеда равны 6 дм, 18 дм и 27 дм.

Ответ: 6 дм, 18 дм, 27 дм.

Пример 2. Найти объем наклонной треугольной призмы, основанием которой служит равносторонний треугольник со стороной 8 см, если боковое ребро равно стороне основания и наклонено под углом 60º к основанию.

Решение . Сделаем рисунок (рис. 3).

Для того, чтобы найти объем наклонной призмы необходимо знать площадь ее основания и высоту. Площадь основания данной призмы – это площадь равностороннего треугольника со стороной 8 см. Вычислим ее:

Высотой призмы является расстояние между ее основаниями. Из вершины А 1 верхнего основания опустим перпендикуляр на плоскость нижнего основания А 1 D . Его длина и будет высотой призмы. Рассмотрим DА 1 АD : так как это угол наклона бокового ребра А 1 А к плоскости основания, А 1 А = 8 см. Из этого треугольника находим А 1 D :

Теперь вычисляем объем по формуле (1):

Ответ: 192 см 3 .

Пример 3. Боковое ребро правильной шестиугольной призмы равно 14 см. Площадь наибольшего диагонального сечения равна 168 см 2 . Найти площадь полной поверхности призмы.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 4)

Наибольшее диагональное сечение – прямоугольник AA 1 DD 1 , так как диагональ AD правильного шестиугольника ABCDEF является наибольшей. Для того, чтобы вычислить площадь боковой поверхности призмы, необходимо знать сторону основания и длину бокового ребра.

Зная площадь диагонального сечения (прямоугольника), найдем диагональ основания.

Поскольку , то

Так как то АВ = 6 см.

Тогда периметр основания равен:

Найдем площадь боковой поверхности призмы:

Площадь правильного шестиугольника со стороной 6 см равна:

Находим площадь полной поверхности призмы:

Ответ:

Пример 4. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб. Площади диагональных сечений 300 см 2 и 875 см 2 . Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 5).

Обозначим сторону ромба через а , диагонали ромба d 1 и d 2 , высоту параллелепипеда h . Чтобы найти площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда необходимо периметр основания умножить на высоту: (формула (2)). Периметр основания р = АВ + ВС + CD + DA = 4AB = 4a , так как ABCD – ромб. Н = АА 1 = h . Т.о. Необходимо найти а и h .

Рассмотрим диагональные сечения. АА 1 СС 1 – прямоугольник, одна сторона которого диагональ ромба АС = d 1 , вторая – боковое ребро АА 1 = h , тогда

Аналогично для сечения ВВ 1 DD 1 получим:

Используя свойство параллелограмма такое, что сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон, получим равенство Получим следующее.

Определение. Призма - это многогранник, все вершины которого расположены в двух параллельных плоскостях, причем в этих же двух плоскостях лежат две грани призмы, представляющие собой равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а все ребра, не лежащие в этих плоскостях, параллельны.

Две равные грани называются основаниями призмы (ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1) .

Все остальные грани призмы называются боковыми гранями (AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Все боковые грани образуют боковую поверхность призмы .

Все боковые грани призмы являются параллелограммами.

Ребра, не лежащие в основаниях, называются боковыми ребрами призмы(AA 1 , BB 1 , CC 1 , DD 1 , EE 1 ).

Диагональю призмы называется отрезок, концами которого служат две вершины призмы, не лежащие на одной ее грани (АD 1).

Длина отрезка, соединяющего основания призмы и перпендикулярного одновременно обоим основаниям,называется высотой призмы .

Обозначение: ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 . (Сначала в порядке обхода указывают вершины одного основания, а затем в том же порядке - вершины другого; концы каждого бокового ребра обозначают одинаковыми буквами, только вершины, лежащие в одном основании, обозначаются буквами без индекса, а в другом - с индексом)

Название призмы связывают с числом углов в фигуре, лежащей в ее основании, например, на рисунке 1 в основании лежит пятиугольник, поэтому призму называют пятиугольной призмой . Но т.к. у такой призмы 7 граней, то она семигранник (2 грани - основания призмы, 5 граней - параллелограммы, - ее боковые грани)

Среди прямых призм выделяется частный вид: правильные призмы.

Прямая призма называется правильной, если ее основания-правильные многоугольники.

У правильной призмы все боковые грани равные прямоугольники. Частным случаем призмы является параллелепипед.

Параллелепипед

Параллелепипед - это четырехугольная призма, в основании которой лежит параллелограмм (наклонный параллелепипед).Прямой параллелепипед - параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания.

Прямоугольный параллелепипед - прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник.

Свойства и теоремы:

Некоторые свойства параллелепипеда аналогичны известным свойствам параллелограмма.Прямоугольный параллелепипед, имеющий равные измерения, называются кубом .У куба все грани равные квадраты.Квадрат диагонали, равен сумме квадратов трех его измерений

,

где d - диагональ квадрата;
a - сторона квадрата.

Представление о призме дают:

• различные архитектурные сооружения;
• детские игрушки;
• упаковочные коробки;
• дизайнерские предметы и т.д.

Площадь полной и боковой поверхности призмы

Площадь полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее гранейПлощадь боковой поверхности называется сумма площадей ее боковых гранейТ.к. основания призмы - равные многоугольник, то их площади равны. Поэтому

S полн = S бок + 2S осн ,

где S полн - площадь полной поверхности,S бок -площадь боковой поверхности, S осн - площадь основания

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы .

S бок = P осн * h,

где S бок -площадь боковой поверхности прямой призмы,

P осн - периметр основания прямой призмы,

h - высота прямой призмы, равная боковому ребру.

Объем призмы

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту.

Определение 1. Призматическая поверхность
Теорема 1. О параллельных сечениях призматической поверхности
Определение 2. Перпендикулярное сечение призматической поверхности
Определение 3. Призма
Определение 4. Высота призмы
Определение 5. Прямая призма
Теорема 2. Площадь боковой поверхности призмы

Параллелепипед :
Определение 6. Параллелепипед
Теорема 3. О пересечении диагоналях параллелепипеда
Определение 7. Прямой параллелепипед
Определение 8. Прямоугольный параллелепипед
Определение 9. Измерения параллелепипеда
Определение 10. Куб
Определение 11. Ромбоэдр
Теорема 4. О диагоналях прямоугольного параллелепипеда
Теорема 5. Объем призмы
Теорема 6. Объем прямой призмы
Теорема 7. Объем прямоугольного параллелепипеда

Призмой называется многогранник, у которого две грани (основания) лежат в параллельных плоскостях, а ребра, не лежащие в этих гранях, параллельны между собой.
Грани, отличные от оснований, называются боковыми .
Стороны боковых граней и оснований называются ребрами призмы , концы ребер называются вершинами призмы. Боковыми ребрами называются ребра, не принадлежащие основаниям. Объединение боковых граней называется боковой поверхностью призмы , а объединение всех граней называется полной поверхностью призмы. Высотой призмы называется перпендикуляр, опущенный из точки верхнего основания на плоскость нижнего основания или длина этого перпендикуляра. Прямой призмой называется призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Правильной называется прямая призма (Рис.3), в основании которой лежит правильный многоугольник.

Обозначения:
l - боковое ребро;
P - периметр основания;
S o - площадь основания;
H - высота;
P ^ - периметр перпендикулярного сечения;
S б - площадь боковой поверхности;
V - объем;
S п - площадь полной поверхности призмы.

V = SH S п = S б + 2S о S б = P ^ l

Определение 1 . Призматической поверхностью называется фигура, образованная частями нескольких плоскостей, параллельных одной прямой ограниченными теми прямыми, по которым эти плоскости последовательно пересекаются одна с другой*; эти прямые параллельны между собой и называются рёбрами призматической поверхности .
*При этом предполагается, что каждые две последовательные плоскости пересекаются и что последняя плоскость пересекает первую

Теорема 1 . Сечения призматической поверхности плоскостями, параллельными между собой (но не параллельными её рёбрам), представляют собой равные многоугольники.
Пусть ABCDE и A"B"C"D"E" - сечения призматической поверхности двумя параллельными плоскостями. Чтобы убедиться, что эти два многоугольника равны, достаточно показать, что треугольники ABC и А"В"С" равны и имеют одинаковое направление вращения и что то же имеет место и для треугольников ABD и A"B"D", ABE и А"В"Е". Но соответственные стороны этих треугольников параллельны (например АС параллельно А"С") как линии пересечения некоторой плоскости с двумя параллельными плоскостями; отсюда следует, что эти стороны равны (например АС равно А"С") как противоположные стороны параллелограмма и что углы, образованные этими сторонами, равны и имеют одинаковое направление.

Определение 2 . Перпендикулярным сечением призматической поверхности называется сечение этой поверхности плоскостью, перпендикулярной к её рёбрам. На основании предыдущей теоремы все перпендикулярные сечения одной и той же призматической поверхности будут равными многоугольниками.

Определение 3 . Призмой называется многогранник, ограниченный призматической поверхностью и двумя плоскостями, параллельными между собой (но непараллельными рёбрам призматической поверхности)
Грани, лежащие в этих последних плоскостях, называются основаниями призмы ; грани, принадлежащие призматической поверхности, - боковыми гранями ; рёбра призматической поверхности - боковыми рёбрами призмы . В силу предыдущей теоремы, основания призмы - равные многоугольники . Все боковые грани призмы - параллелограммы ; все боковые рёбра равны между собой.
Очевидно, что если дано основание призмы ABCDE и одно из рёбер АА" по величине и по направлению, то можно построить призму, проводя рёбра ВВ", СС", .., равные и параллельные ребру АА".

Определение 4 . Высотой призмы называется расстояние между плоскостями её оснований (НH").

Определение 5 . Призма называется прямой, если её основаниями служат перпендикулярные сечения призматической поверхности. В этом случае высотой призмы служит, конечно, её боковое ребро ; боковые грани будут прямоугольниками .
Призмы можно классифицировать по числу боковых граней, равному числу сторон многоугольника, служащего её основанием. Таким образом, призмы могут быть треугольные, четырёхугольные, пятиугольные и т.д.

Теорема 2 . Площадь боковой поверхности призмы равна произведению бокового ребра на периметр перпендикулярного сечения.
Пусть ABCDEA"B"C"D"E" - данная призма и abcde - её перпендикулярное сечение, так что отрезки ab, bc, .. перпендикулярны к её боковым ребрам. Грань АВА"В" является параллелограммом; его площадь равна произведению основания АА" на высоту, которая совпадает с аb; площадь грани ВСВ"С" равна произведению основания ВВ" на высоту bc и т. д. Следовательно, боковая поверхность (т. е. сумма площадей боковых граней) равна произведению бокового ребра, иначе говоря, общей длины отрезков АА", ВВ", .., на сумму ab+bc+cd+de+еа.