Графическое определение передаточного отношения таких механизмов осуществляется методом планов скоростей (треугольников скоростей). Треугольник скоростей можно построить, если для звена известны линейные скорости не менее двух точек звена (по величине и направлению). Используя этот метод можно получить наглядное представление о характере изменения скоростей от одного вала колеса к другому, а также можно определить графически угловую скорость любого колеса.

,тогда

, где знак отношения определяется по знаку тангенса.

Передаточное отношение рядовых механизмов обычно не велико, так как оно ограничивается предельными размерами крайних колес (1,4), а числа зубьев промежуточных колес (2,3) не влияет на общую величину передаточного отношения. Применяют такие механизмы там, где необходимо изменить вращение ведомого вала, не изменяя при этом направление движения ведущего – коробки передач, либо при передаче движения на значительные расстояния, если нет возможности увеличить размеры ведущего и ведомого колес.

Кинематика ступенчатого зубчатого механизма

Рассмотрим кинематику ступенчатого механизма составленного из трех зубчатых передач: двух внешнего зацепления (1-2) и (3-4) и одной внутреннего зацепления(5-6). Схема механизма изображена на рис.

Аналитическое определение передаточного отношения

Аналитическое определение передаточного отношения основывается на формуле:

так как колеса 2-3 и 4-5 находятся на одном валу, соответственно вращаются с одинаковыми угловыми скоростями.

Используя основную теорему Виллиса, для заданного механизма получим:

На основе чего можно получить общую формулу для определения передаточного отношения ступенчатого редуктора:

.

Общее передаточное отношение ступенчатого зубчатого механизма равно отношению произведения чисел зубьев ведомых колес к произведению чисел зубьев ведущих колес. Знак передаточного отношения определяется множителем

, где- число передач внешнего зацепления.

Графическое определение передаточного отношения

Графическое определение передаточного отношения также осуществляется методом планов скоростей (треугольников скоростей).

,

где знак отношения определяется по знаку тангенса или по правилу стрелок.

За счет подбора чисел зубьев в ступенчатом механизме можно получить большие передаточные отношения при тех же габаритах, что у рядового.

Ступенчатые зубчатые механизмы часто применяются в коробках скоростей, где передаточное число меняется скачкообразно. Это позволяет, при постоянной угловой скорости на ведущем звене, сообщать выходному звену механизма разные по величине и направлению скорости, и воспроизводить любой ряд передаточных отношений с заданной закономерностью.

Планетарные механизмы

Сложные зубчатые механизмы, в которых ось хотя бы одного колеса подвижна, называются планетарными механизмами.

Планетарные механизмы подразделяются на планетарные редукторы и мультипликаторы, которые обладают одной степенью свободы и обязательно имеют опорное звено, и зубчатые дифференциальные механизмы, число степеней свободы которых два и более, и которые опорного звена обычно не имеют.

К типовым планетарным механизмам относятся:

однорядный планетарный механизм со смешанным зацеплением (механизм Джеймса);

двухрядный планетарный механизм со смешанным зацеплением;

двухрядный планетарный механизм с двумя внешними зацеплениями;

двухрядный планетарный механизм с двумя внутренними зацеплениями.

Элементы планетарного механизма имеют специальные названия:

зубчатое колесо с внешними зубьями, расположенное в центре механизма называется "солнечным";

колесо с внутренними зубьями называют "короной" или "эпициклом";

колеса, оси которых подвижны, называют "сателлитами";

подвижное звено, на котором установлены сателлиты, называют «водило». Это звено принято обозначать не цифрой, а латинской буквой h.

При вращении солнечного колеса сателлиты поворачиваются как рычаг относительно мгновенного центра вращения (опорное колесо неподвижно) и заставляют вращаться водило. При этом планетарные колеса (сателлиты) совершают сложное движение: вращаются вокруг собственной оси (относительно водила) с угловой скоростью и вместе с водилом обкатываются вокруг его оси (переносное движение). Число степеней свободы этого механизма равно единице. Поэтому редуктор имеет постоянное передаточное отношение.

Обычно у реального механизма имеется несколько симметрично расположенных блоков сателлитов . Их вводят с целью уменьшения габаритов механизма, снижения усилия в зацеплении, разгрузки подшипников центральных колес, улучшения уравновешивания водила, хотя механизм в этом случае имеет избыточные связи, т.е. является статически неопределимым. При кинематических расчетах учитывается один сателлит, так как остальные являются пассивными в кинематическом отношении.

Если в рассмотренном механизме освободить от закрепления опорное колесо (корпус редуктора) и сообщить ему вращение, то все центральные колеса станут подвижными и механизм превратится в дифференциальный, так как число степеней свободы его будет равно двум.

Таким образом, дифференциальный механизм – это планетарный механизм с числом степеней свободы

.

Число степеней свободы (подвижности) механизма показывает, скольким звеньям дифференциала необходимо сообщить независимые движения, чтобы получить определенность движения всех остальных звеньев. Здесь в зависимости от направления вращения наружных валов может происходить либо разложение движения (одного ведущего на два ведомых), либо сложение движения. Ведущим считается такой вал, у которого направление скорости вращения и момента совпадают. Следовательно, планетарный редуктор (или мультипликатор), имеющий неподвижное колесо, можно превратить в дифференциал, если освободить неподвижное (опорное) колесо и сообщить ему вращение. Наоборот, любой дифференциал можно превратить в планетарный редуктор, если закрепить одно (при W = 2) или несколько из его центральных колес. Это так называемое свойство обратимости планетарных механизмов, которое позволяет применять одинаковые методы исследования и проектирования для редукторов и для дифференциалов. При этом каждому элементарному дифференциалу будут соответствовать два планетарных редуктора

В таблице приведены структурные схемы типовых планетарных механизмов, а также диапазоны рекомендуемых передаточных отношений и ориентировочные значения КПД при этих передаточных отношениях.

При пересопряжении зубьев следующий зуб второго колеса должен попасть в следующую впадину первого, т.е. шаги на находящихся в зацеплении колес должны быть одинаковыми:

Таким образом, для одной пары колес прямо пропорционально отношению и обратно пропорционально отношению чисел зубьев колес, составляющих пару:

Знак передаточного отношения показывает направление вращения колеса на выходе по отношению к направлению вращения на входе:

• (+) – направления вращения на входе и на выходе совпадают. Для пары колес направление вращения совпадает при внутреннем зацеплении (рисунок 35б);
• (–) – колеса вращаются в противоположные стороны. Это происходит при внешнем зацеплении (рисунок 35а).

На рисунке 35 дана фронтальная проекция передач, а также их условное изображение на кинематических схемах при виде сбоку (или в разрезе).

Многоступенчатая передача

Для увеличения кинематического эффекта несколько зубчатых пар могут последовательно соединяться в единый . Такой механизм называется многоступенчатым зубчатым механизмом или многоступенчатой передачей . Схема одного из таких механизмов приведена на рисунке 36.

Рисунок 36

Запишем передаточные отношения для каждой пары колес данного механизма:

Из схемы видно, что колеса 2 и 3 находятся на одном валу и вращаются с одной угловой скоростью (ω 2 = ω 3 ), аналогично ω 4 = ω 5 . Поэтому в приведенном выше уравнении эти члены сократились.

Таким образом, общее передаточное отношение многоступенчатого механизма равно произведению частных передаточных отношений ступеней, из которых состоит данный механизм:

В этой формуле “m” – число передач внешнего зацепления (если число передач внешнего зацепления четное, то знак "+", т.е. колеса на входе и на выходе вращаются в одну сторону; если нечетное, то знак "–". Количество передач внутреннего зацепления не учитывается, т.к. внутреннее зацепление не изменяет направление вращения).

В приведенном примере m=2 (пары Z 1* Z 2 и Z 3* Z 4 ; пара Z 5* Z 6 – пара внутреннего зацепления) и, таким образом, колеса "1" и "6" вращаются в одну сторону.

Планетарные и дифференциальные механизмы

В практике применяются зубчатые механизмы, имеющие колеса с подвижными геометрическими осями (сателлиты ). Такие механизмы называются планетарными (если имеют одну ) или дифференциальными (если степень свободы равна двум).

Планетарные и дифференциальные механизмы позволяют получить более высокий кинематический эффект, более высокий , более удобную компоновку. Дифференциальные механизмы позволяют также раскладывать одно движение на два или складывать два движения в одно.

Рисунок 37

На рисунке 37 приведен пример дифференциального (рисунок 37 а) и планетарного механизмов (рисунок 37 б). В этих механизмах колесо "2" имеет подвижную геометрическую ось – это и есть сателлит.

Неподвижная геометрическая ось, вокруг которой движется ось сателлита, называется центральной осью . Колеса, геометрические оси которых совпадают с центральной, также называются центральными (на рисунке 37 колеса "1" и "3" – иногда такие колеса называют солнечными). , соединяющее ось сателлитов с центральной осью, называется водилом (водило обычно обозначается "H").

Записываем уравнение передаточного отношения между центральными колесами этого многоступенчатого механизма (для того, чтобы отличить передаточное отношение механизма с остановленным водилом от первоначально заданного, в верхнем индексе ставят обозначение водила H. Для данного примера читается – передаточное отношение от первого к третьему при остановленном водиле):

Формулу такого типа, полученную на основе метода обращения движения, называют формулой Виллиса. В данном конкретном механизме (рисунок 38) имеется еще одна особенность – колесо 2 входит последовательно в два зацепления (с первым и третьим колесами), являясь ведомым для первого колеса и ведущим – для второго.

Полученная формула является универсальной для обоих механизмов, изображенных на рисунке 37. Дифференциальный механизм, изображенный на рисунке 37а, имеет две степени свободы, а поэтому для определенности движения надо задать законы движения двум звеньям. При этом возможны следующие варианты:

1. заданы ω 1 и ω 3 ; из записанной формулы определяется ω H (вариант, изображенный на рисунке 37 а);
2. заданы ω 1 и ω H ; из записанной формулы определяется ω 3 ;
3. заданы ω H и ω 3 ; из записанной формулы определяется ω 1 .

Так как звеньям можно задавать любые законы движения, то, как частный случай, одному из центральных колес зададим угловую скорость, равную нулю. Например, в рассматриваемом механизме зададим ω 3 =0 , другим словами, затормозим третье колесо. Таким приемом отнимается одна из двух степеней свободы, и механизм из дифференциального превращается в планетарный (рисунок 37 б).

Таким образом, планетарный механизм это частный случай дифференциального, когда одно из центральных колес неподвижно (заторможено).

Поэтому решаются эти механизмы совершенно одинаково, по одним и тем же уравнениям, только в планетарном механизме для неподвижного колеса в уравнение подставляется значение угловой скорости, равное нулю. Для изображенного на рисунке 37б планетарного механизма:

Кинематическое исследование пространственных планетарных механизмов методом планов угловых скоростей.

Рассмотрим этот метод исследования на примере планетарного механизма конического дифференциала заднего моста автомобиля. На рис. 15.8 изображена схема механизма и планы угловых скоростей.

Планы угловых скоростей строятся в соответствии с векторными уравнениями:

Вектора относительных угловых скоростей направлены по осям мгновенного относительного вращения:

w 21 - по линии контакта начальных конусов звеньев 2 и 1 ;
w 32 - по оси шарнира С ;
w 43 4 и 3 ;
w 53 - по линии контакта начальных конусов звеньев 5 и 3 .

Вектора абсолютных угловых скоростей направлены по осям кинематических пар, которые образуют звенья со стойкой:

w 2 - по оси пары В ;w 1 - по оси пары А ;
w 4 - по оси пары Е ; w 5 - по оси пары D .

Направление угловой скорости сателлита 3 определяется соотношением величин угловых скоростей w 2 и w 32 .

Рассмотрим три режима движения автомобиля:

• прямолинейное движение w 4 = w 5 (векторная диаграмма на рис.15.8a). В этом режиме движения корпус дифференциала 2 и полуоси 4 и 5 вращаются с одинаковыми угловыми скоростями w 4 = w 5 = w 2 , а относительная угловая скорость сателлита w 32=0 .
• поворот автомобиля направо w 4 w5 (векторная диаграмма на рис.15.8б). При повороте направо угловые скорости полуосей не равны и связаны неравенством w 4 w5 ,поэтому сателлит будет вращаться с такой угловой скоростью w 32 , которая обеспечивает постоянство угловой скорости корпуса дифференциала w 2.
• буксование левого колеса w 4 = 0 (векторная диаграмма на рис.15.8в). При буксовании левого колеса, правое колесо останавливается w 4 = 0 , а левое будет вращаться с угловой скоростью w5 = 2Ч w 2 .

Для того, чтобы в условиях низкого сцепления колес с грунтом, уменьшить опасность их пробуксовывания в дифференциалы автомобилей высокой проходимости включают элементы трения или блокировки.

Контрольные вопросы к лекции 15

1. Какой зубчатый механизм называется сложным?(стр.1)

2. Какой механизм называется планетарным? (стр.1)

3. Как определить передаточное отношение одной из схем планетарного редуктора аналитическим способом?(стр.2-4)

4. Как используются графический и аналитический способы для определения угловых скоростей звеньев планетарных зубчатых механизмов?(стр.6-9)

5. Как устанавливаются кинематические зависимости в планетарном зубчатом механизме с коническими колесами?(стр.1-11)

6. Как используется графический способ для определения угловых скоростей звеньев дифференциалов?(стр.10-11)

7. Какова цель применения метода обращения движения при кинематическом анализе планетарных механизмов?(стр.4-6)

Планетарные механизмы появились на американских автомобилях в начале этого столетия. Их использование на легковых автомобилях и грузовиках малой грузоподъемности было обусловлено неоспоримым преимуществом: минимальные габариты по сравнению с обычными зубчатыми передачами. Вальные коробки передач со скользящими зубчатыми колесами на ранних этапах развития не имели синхронизаторов, и это требовало особой квалификации при переключении передач.

Первые планетарные коробки передач имели только две передачи, хотя имеется информация о том, что в 1906 году Кадиллак использовал планетарный механизм, реализующий три передачи. Ранние конструкции планетарных коробок передач имели ряд существенных недостатков. Они были шумные, имели малую долговечность подшипников (в то время для устанавливки шестерен на валы использовались подшипники скольжения) и из-за перекосов вызванных их неравномерным износом вибрировали при включении ленточных тормозов.

Появление вальных коробок передач с передвижными каретками приводит, в конечном счете, к их большей популярности по сравнению с планетарным коробками, и, практически, к повсеместному их использованию на легковых автомобилях и грузовиках. Однако, на автомобиле Форд-T, планетарная коробка использовалась вплоть до 1928 года.

Планетарные передачи были вновь использованы в 1930 году Bоrg-Warner в автоматической коробке передач "Дженерал Моторс" Hydra-Matic. Проведенный большой объем исследований, а также использование косозубых зацеплений, легированных сталей, термообработки металла и игольчатых подшипников устранили многие недостатки ранних конструкций планетарных передач. Планетарные передачи сегодня имеют широчайший диапазон использования в легковых автомобилях, грузовиках и гусеничной технике.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Определим общие понятия, используемые при рассмотрении зубчатых передач.

Передаточное отношение механизма . Это отношение частоты вращения ведущего вала к частоте вращения ведомого вала.

Понижающая передача . Передача, передаточное отношение которой по абсолютной величине больше 1. В этом случае крутящий момент на ведомом валу механизма больше момента на ведущем валу на величину передаточного отношения, а частота вращения ведомого вала на эту же величину меньше частоты вращения ведущего вала.

Повышающая передача . Передача, передаточное отношение которой по абсолютной величине меньше 1. В этом случае крутящий момент на ведомом валу механизма меньше момента на ведущем валу на величину передаточного отношения, а частота вращения ведомого вала на эту же величину больше частоты вращения ведущего вала.

Прямая передача . Передача, передаточное отношение которой равно 1, т.е. крутящий момент и частота вращения ведомого вала остаются равны частоте вращения и моменту ведущего вала.

УСТРОСТВО И СВОЙСТВА ПЛАНЕТАРНОГО РЯДА (МЕХАНИЗМА)

Конструкции планетарных рядов достаточно разнообразны. Познакомимся с устройством планетарного ряда на примере наиболее простого и часто используемого (рис.1). Он состоит из малого центрального колеса (солнца), которое находится в постоянном зацеплении с шестернями, называемыми сателлитами. Сателлиты могут вращаться относительно осей, установленных в водиле. Зубчатое колесо внутреннего зацепления, называемое большим центральным колесом (эпициклом, короной), находится в постоянном зацеплении с сателлитами и окружает всю конструкцию. Следует отметить, что малое центральное колесо, водило и большое центральное колесо вращаются относительно одной общей оси, в то время, как сателлиты планетарной передачи вращаются относительно собственных осей и вместе с водилом относительно общей оси. При этом следует отметить, что сателлиты планетарной передачи являются составной частью водила.

Название этого механизма происходит от сателлитов, которые подобно планетам, вращаются относительно своих осей и в то же время вокруг малого центрального колеса (солнца).

Что же так привлекает конструкторов к планетарным механизмам? Здесь можно перечислить несколько пунктов:

1 . Все элементы планетарной передачи вращаются относительно общей оси, что делает ее компактной.

2 . Планетарные передачи, не смотря на их компактные размеры, могут передавать большие крутящие моменты по сравнению к другим типами передачи. Это объясняется тем, что момент передается несколькими сателлитами планетарной передачи, что позволяет значительно снизить контактные напряжения на поверхностях зубьев при передаче момента.

3 . Расположение элементов планетарного ряда позволяет относительно легко организовывать их систему управления (имеется в виду оборудование тормозами и блокировочными муфтами).

4 . При удачном выборе кинематической схемы КПД таких передач имеет высокое значение

Основным параметром, определяющим свойства планетарного ряда, является внутреннее передаточное отношение. В общем случае любой планетарный ряд характеризуется шестью внутренними передаточными отношениями. Однако, на практике обычно используется только одно, определяемое как отношение частоты вращения малого центрального к частоте вращения большого центрального колеса при остановленном водиле:

В зависимости от того, как вращаются центральные колеса при остановленном водиле, внутреннее передаточное отношение планетарного ряда может быть либо положительным, либо отрицательным. Если они вращаются в одном и том же направлении, то внутреннее передаточное отношение положительное, в противном случае оно отрицательное. Так для простого планетарного ряда, представленного на рис.1, центральные колеса при остановке водила будут вращаться в различных направлениях, и, следовательно, внутреннее передаточное отношение этого ряда - отрицательное.

Все планетарные ряды в зависимости от знака внутреннего передаточного отношения, определенного при остановленном водиле, классифицируются на два класса:

1. Планетарные ряды с положительным внутренним передаточным отношением.

2. Планетарные ряды с отрицательным внутренним передаточным отношением.

Как уже отмечалось, кинематических схем построения планетарных рядов имеется достаточно большое количество. Наиболее известным планетарным рядом для всех автолюбителей является дифференциал (рис.2), без которого не обходится не один современный автомобиль. Наверное, не многие догадываются, что дифференциал есть не что иное, как планетарный ряд.

Отличительной особенностью дифференциала является то, что он имеет центральные колеса одинакового размера, поэтому внутреннее передаточное отношение этого механизма равно -1. Минус, очевидно, означает, что дифференциал относится ко второму классу планетарных механизмов, т.е. при остановленном водиле центральные колеса вращаются в разные стороны.

Рассмотрим другие типы планетарных рядов. На рисунке 3 представлены планетарные ряды, относящиеся к первому классу.

Примеры построения планетарных рядов, относящихся ко второму классу, представлены на рисунке 4.

Планетарные ряды, изображенные на рисунках 3а, 3в, 4б, 4в, построены с использованием двухвенцовых сателлитов. Планетарный ряд, построенный по схеме 4в, носит название несимметричного дифференциала, а ряд, представленный на рисунке 4г называется планетарным рядом со сцепленными сателлитами.

Как видно из приведенных примеров, планетарный ряд можно построить, используя только внутреннее зацепление (рис.3а), только внешнее зацепление (рис.3в и 4г), только конические передачи (рис.2 и 3в) или с использованием внутреннего и внешнего зацеплений (рис.3б, 4а, 4б).

Уравнение, связывающее угловые скорости () трех основных звеньев любого планетарного ряда (не зависимо от схемы построения) выглядит следующим образом:

Вы спросите: "А как, все-таки, определить величину внутреннего передаточного отношения планетарного ряда i 12 ?". Нет ничего проще. Модуль этой величины можно легко определить, зная число зубьев шестерен, входящих в состав планетарного ряда. Для планетарных рядов с одновенцовыми и сцепленными сателлитами

Для планетарных рядов с двухвенцовыми сателлитами эта величина может быть определена следующим образом:

Таким образом, зная величину внутреннего передаточного отношения, а для конкретного планетарного ряда она постоянна, и имея зависимость, связывающую угловые скорости трех основных звеньев планетарного ряда, можно определить свойства этого механизма.

1. Свойство блокировки планетарного ряда.

Нетрудно показать, что если угловые скорости двух звеньев планетарного ряда равны, то и угловая скорость третьего звена будет равна угловой скорости этих двух звеньев. Пусть, например, 1 =3 , тогда

или

т.е. угловые скорости всех звеньев в этом случае равны, и планетарный ряд будет вращаться как одно целое тело. Аналогичный результат можно получить и в двух других случаях, когда 1 =2 и 2 =3 . Отсюда вытекает известное свойство блокировки планетарного ряда: если установить блокировочную муфту между любыми двумя звеньями планетарного ряда (рис.5), то при ее включении планетарный ряд будет заблокирован, и его передаточное отношение будет равно 1.

2. Свойство работать в редукторном режиме.

Рассмотрим это свойство на примере планетарного ряда второго класса, т.е. с отрицательным внутренним передаточным отношением (i 12 <0). Здесь возможны два варианта.

Первый. 2 =0), водило назначим ведомым звеном планетарного ряда, а малое центральное колесо - ведущим звеном (рис.6а). Тогда в соответствии с (1) передаточное отношение механизма будет определяться следующей зависимостью:

т.е. получаем редуктор, передаточное отношение которого на единицу больше внутреннего передаточного отношения самого планетарного ряда.

Второй. Пусть большое центральное колесо будет ведущим звеном планетарного ряда, водило - ведомым звеном, а малое центральное колесо - остановлено, ( =0) (рис.6б). Тогда после небольшого преобразования (1) получим:

т.е. получаем редуктор, передаточное отношение которого близко к единице.

3. Свойство работать в режиме повышающей передачи. Опять-таки, рассмотрим это свойство на примере планетарного ряда второго класса, т.е. с отрицательным внутренним передаточным отношением (i 12 <0) . Здесь также возможны два варианта.

Первый. Пусть большое центральное колесо будет остановлено (2 =0), водило - ведущим звеном планетарного ряда, а малое центральное колесо - ведомым звеном (рис.7а). Тогда в соответствии с (1) передаточное отношение механизма будет определяться следующей зависимостью:

Второй. Пусть большое центральное колесо будет ведомым звеном планетарного ряда, водило - ведущим звеном планетарного ряда, а малое центральное колесо - остановлено ( 1 =0) (рис.7б). Тогда в соответствии с (1) передаточное отношение механизма будет определяться следующей зависимостью:

Анализ полученной зависимости показывает, что в этом случае будет получена повышающая передача с передаточным отношением близким к единице.

4. Свойство реверсивности.

Использование этого свойства позволяет организовать передачу заднего хода. Так же, как и в трех предыдущих случаях исследуем возможности реверсивного свойства на примере планетарного ряда второго класса. Здесь возможны, опять-таки два варианта.

Первый. Пусть большое центральное колесо будет ведомым звеном планетарного ряда, водило - остановлено (3 =0), а малое центральное колесо - ведущим звеном (рис.8а). Тогда в соответствии с (1) передаточное отношение механизма будет равно внутреннему передаточному отношению планетарного ряда:

Поскольку для планетарных механизмов второго класса внутреннее передаточное отношение отрицательное, то получаем редуктор с отрицательным передаточным отношением.

Второй. Пусть большое центральное колесо будет ведущим звеном планетарного ряда, водило - остановлено (3 =0), а малое центральное колесо - ведомым звеном (рис.8а). Тогда

Т.е. получаем мультипликатор с отрицательным передаточным отношением (поскольку i 12 <0).

Центральное колесо 1 называется солнечным, а неподвижное 3 - коронным или корончатым. Зубчатое колесо 2 имеющее подвижную ось называется сателлитом. Звено Н называется водилом или поводком. Механизмы, в состав которых входят зубчатые колеса с подвижными осями называются планетарными или дифференциальными.

Планетарными (рис. 14 а) называются механизмы, имеющие одну степень свободы. Дифференциальные (рис. 14 б) механизмы имеют две и более степени свободы.

Эти механизмы обязательно должны быть соосными, то есть оси солнечных колёс должны располагаться на одной и той же прямой линии.

Рассмотрим дифференциальный механизм (рис. 15).

где: n=4; ; .

Таким образом определённость в движении звеньев этого механизма будет в том случае, если будут известны законы движения двух его ведущих звеньев.

Так как сателлиты имеют подвижные оси, то использовать формулы для расчёта передаточного отношения механизмов с неподвижными осями не представляется возможным. В этом случае прибегают к методу инверсии (метод обращённого движения).

Будем рассматривать движение всех колёс относительно водила. Всем звеньям зададим вращательное движение с угловой скоростью водила, но в обратном направлении и найдём скорости всех звеньев механизма. Для этого вычтем угловую скорость водила из всех угловых скоростей колёс.

Таблица 2.

Механизм, полученный в результате инверсии (остановки водила) называется обращённым (рис. 16). В результате получили обычную зубчатую передачу с неподвижными осями.

Эту зависимость (1) называют формулой Виллиса для дифференциальных механизмов.

Если бы было n - колёс, то:

где s – солнечное колесо.

Дифференциальный механизм никакого определённого передаточного отношения не имеет, если ведущим является одно из звеньев (колесо или водило), и приобретает определённость, если ведущих колёс будет два.