МБОУ Останкинская СШ

Подготовка к ЕГЭ

Решение задач по теории вероятности

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

А – кофе закончится в первом автомате; В – кофе закончится во втором автомате.

По условию задачи,

отметим, что эти события не являются независимыми, в противном случае

Вероятность противоположного события «кофе останется в обоих автоматах» равна

В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО

P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО)=0,8∙0,8∙0,2+0,8∙0,2∙0,8+

0,2∙0,2∙0,2+0,2∙0,8∙0,8=0,128+0,128+0,008+0,128=0,392

Ответ:0,392

Яйцо куплено в 1 хозяйстве

Яйцо куплено во 2 хозяйстве

P∙0,4+(1-p)∙0,2=0,35

Две фабрики одной фирмы выпускают одинаковые мобильные телефоны. Первая фабрика выпускает 30% всех телефонов этой марки,а вторая-остальные телефоны.Известно,что из всех телефонов,выпускаемых первой фабрикой,1% имеют скрытые дефекты,а у выпускаемых второй фабрикой-1,5%.Найдите вероятность того,что купленный в магазине телефон этой марки имеет скрытый дефект.

Телефон выпущен

на 1 фабрике

Телефон выпущен

на 2 фабрике

Д-телефон имеет дефект

0,3∙0,01+0,7∙0,015=0,003+0,0105=0,0135

Ответ:0,0135

Стекла выпущены

1 фабрикой

стекла выпущены

2 фабрикой

Д-стекла имеют брак

0,45∙0,03+0,55∙0,01=0,0135+0,0055=0,019

Ответ:0,019

Павел Иванович совершает прогулку из точки А по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Найдите вероятность того, что Павел Иванович попадет в точку G

Ответ:0,125

Павел Иванович совершает прогулку из точки А по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Часть маршрутов приводит к поселку S,другие –в поле F или в болото М.Найдите вероятность того, что Павел Иванович забредет в болото.

Событие A - в автобусе меньше 15 пассажиров

Событие В - в автобусе от 15 до 19 пассажиров

Событие A + B - в автобусе меньше 20 пассажиров

События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B).

P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38.

P(A + B+ С) = P(A) + P(B)+ P(С)= P(A) + P(B)

Р(А)=0,97-0,89=0,08

Событие A - учащийся решит 11 задач

Событие В - учащийся решит больше 11 задач

Событие A + B - учащийся решит больше 10 задач

Ответ:0,035

Событие А –Джон возьмет

пристрелянный револьвер

Событие В –Джон возьмет

не пристрелянный револьвер

р(А)=0,4 р(В)=0,6

0,4∙0,1+0,6∙0,8=0,52

Событие А-пациент болеет гепатитом

Событие В- пациент не болеет гепатитом

0,05∙0,9+0,95∙0,01=0,0545

Ответ:0,0545

0,02∙0,99+0,98∙0,01=0,0296

Ответ:0,0296

Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза

Перевести на монеты Так как 3 матча,то три раза бросается монета.

Событие А - орел выпадет 2 раза(в играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза)

Случаи ООО,ОРО,РОО

Ответ:0,375

Спасибо за внимание

Пенсионер гуляет по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Пенсионер начинает прогулку в точке А. Найдите вероятность того, что он придет в точку F.

Решение задачи

В данном уроке показывается пример решения задачи с применением теории вероятностей. Для успешного решения задачи необходимо знать, что вероятность — это степень возможности наступления некоторого события, или отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу возможных исходов. Таким образом, решение задачи сводится к применению формулы теории вероятностей: , где -благоприятное число исходов, а — общее число исходов. Решение задачи разбивается на этапа. Сначала определяется вероятность того, что пенсионер начнет прогулку именно с дорожки , при этом Затем выполняется вычисление вероятности того, что прогулка будет продолжена по маршруту , при этом По теореме умножения вероятностей: вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место. Таким образом, результат вычисления произведения и является искомым ответом.

Эта задача аналогична задачам вида В6, поэтому ее с успехом можно использовать в качестве подготовки к ЕГЭ по математике.

Основы
теории
вероятностей
Чикрин Евгений
Александрович
КАЗАНЬ­2016

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Теория вероятностей объясняет и исследует
различные закономерности, которым подчинены
случайные события и случайные величины.
Событием является любой факт,
который можно констатировать
в результате наблюдения или опыта.
Наблюдением или опытом называют
реализацию определенных условий,
в которых событие может состояться.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Все события, за которыми люди наблюдают
или сами создают их, делятся на:
достоверные
(в результате опыта происходят всегда),
невозможные
(в результате опыта никогда не произойдут),
и случайные
(в результате опыта событие
может произойти или не произойти).
Теория вероятностей рассматривает
именно случайные события.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Случайные события называют несовместными,
если в результате одного испытания может
наступить одно из этих событий, но невозможно
наступление двух или более событий.
Если наступление одного случайного
события не исключает наступление другого
события, то такие события называют
совместными.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Если в каждом испытании должно
произойти одно и только одно из
несовместных случайных событий,
то эти события составляют
полное множество (систему) событий.
В случае, когда полную систему образуют
только два события, они называются
противоположными.
Сумма вероятностей событий, образующих
полную систему, равна 1.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Суммой (объединением) событий А и В
называют сложное событие, состоящее
в появлении хотя бы одного из событий А и В.
Произведением (пересечением) событий А и В
называется их совместное появление.
Если наступление одного события не влияет
на возможность появления другого, то такие
события называются независимыми.

Классическое
определение вероятности
Вероятностью события А называют
отношение числа благоприятных этому
событию возможностей m к числу всех
равновозможных несовместных событий n,
которые могут произойти в результате
одного испытания или наблюдения, т.е.

Примеры непосредственного
определения вероятностей
ЗАДАЧА 1.
На семинар приехали 3 ученых из
Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Порядок
докладов определяется жеребьёвкой. Найдите
вероятность того, что восьмым окажется доклад
ученого из России.
Решение.
Число благоприятных исходов m=3,

вероятность
ОТВЕТ: 0,3

Примеры непосредственного определения вероятностей

Примеры непосредственного
определения вероятностей
ЗАДАЧА 2.
Фабрика выпускает сумки. В среднем на
100 качественных сумок приходится восемь сумок со
скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что
купленная сумка окажется качественной. Результат
округлите до сотых.
Решение.
Число благоприятных исходов m=100,
общее число возможных исходов n=108,
вероятность
ОТВЕТ: 0,93

Примеры непосредственного определения вероятностей

Примеры непосредственного
определения вероятностей
ЗАДАЧА 3.
Какова вероятность того, что случайно
выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на
три?
Решение.
Число благоприятных исходов m=3 (числа 12,15,18),
общее число возможных исходов n=10,
вероятность
ОТВЕТ: 0,3

Основные правила вычисления
вероятностей сложных событий
Вероятность суммы несовместных
событий равна сумме их вероятностей.
Вероятность суммы произвольных событий
равна сумме их вероятностей за вычетом
вероятности произведения этих событий.

ЗАДАЧА 4. Вероятность того, что чайник прослужит больше года, равна 0,96. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите

ЗАДАЧА 4. Вероятность того, что чайник прослужит
больше года, равна 0,96. Вероятность того,
что он прослужит больше двух лет, равна 0,87.
Найдите вероятность того, что он прослужит меньше
двух лет, но больше года.
Решение.
Обозначим А=;
В=
С=
А=В+С; события несовместны
р(А)=р(В)+р(С); 0,96=0,87+р(С);
р(С)=0,96-0,87=0,09
ОТВЕТ: 0,09

ЗАДАЧА 5. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Веро

ЗАДАЧА 5. В торговом центре два одинаковых
автомата продают кофе. Вероятность того,
что к концу дня в автомате закончится кофе,
равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится
в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность
того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Решение.
А=;
Обозначим
В=
А+В=
А*В=
р(А+В)=р(А)+р(В)-р(А*В),
где р(А)=р(В)=0,3 и р(А*В)=0,12
р(А+В)=0,3+0,3-0,12=0,6-0,12=0,48
Тогда искомая вероятность p=1-0,48=0,52
ОТВЕТ: 0,52

Основные правила вычисления вероятностей сложных событий

Основные правила вычисления
вероятностей сложных событий
Теорема умножения для
независимых событий
Вероятность произведения двух
независимых событий А и В равна
произведению их вероятностей.

ЗАДАЧА 6. Если гроссмейстер А. играет белыми,
то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью
0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б.
с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две
партии, причем во второй партии меняют цвет фигур.
Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Решение.
Обозначим С=;
D=
р(С)=0,52; р(D)=0,3; события независимы;
р (С × D) = р (С) × р (D) = 0,52 × 0,3 = 0,156
ОТВЕТ: 0,156

ЗАДАЧА 7. Перед началом волейбольного матча
капитаны команд тянут честный жребий, чтобы
определить, какая из команд начнёт игру с мячом.
Команда «Статор» по очереди играет с командами
«Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность
того, что «Статор» будет начинать только первую и
последнюю игры.
Решение.
События равновероятны, независимы и
должны произойти «одновременно», следовательно
p (A1 × A2 × A3) = 0,5 × (1 - 0,5) × 0,5 = 0,125
ОТВЕТ: 0,125

ЗАДАЧА 8. Три стрелка стреляют в цель
независимо друг от друга. Первый стрелок
попадает в цель с вероятностью 0,6, второй –
с вероятностью 0,7, а третий – с вероятностью
0,75. Найдите вероятность хотя бы одного
попадания в цель, если каждый стрелок сделает
по одному выстрелу.
Решение.
Обозначим Ai = { Стрелок под номером i попал в цель}
p (A1) = 0,6; p (A2) = 0,7; p (A3) = 0,75
События независимы, следовательно вероятность того,
что все стрелки промахнулись равна
p (A1) × p (A2) × p (A3) = 0, 4 × 0,3 × 0, 25 = 0,03
Значит вероятность хотя бы одного попадания в цель
p=1-0,03=0,97
ОТВЕТ: 0,97

ЗАДАЧА 9. Пенсионер гуляет по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Пенсионер н

ЗАДАЧА 9. Пенсионер гуляет по дорожкам парка.
На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку,
не возвращаясь обратно. Пенсионер начинает прогулку в точке А.
Найдите вероятность того, что он придет в точку F.
Решение.
Вероятность попадания из точки A
в точку B равна 0,5; вероятность
попадания из точки В в точку F равна 0,25.
p(A)*p(В)=1/2*1/4=1/8=0,125
ОТВЕТ: 0,125

Основные правила вычисления вероятностей сложных событий

Основные правила вычисления
вероятностей сложных событий
Условной вероятностью PA(B) называют вероятность
события В, вычисленную в предположении, что событие А
уже наступило.
Теорема умножения для
зависимых событий
Вероятность совместного появления двух
событий равна произведению вероятности
одного из них на условную вероятность другого,
вычисленную в предположении, что первое
событие
уже
наступило:
P (AB) = P (A)*PA(B)

ЗАДАЧА 10. Слово "МАТЕМАТИКА"
разделено на отдельные буквы, из них
произвольным образом отбираются и
выкладываются по порядку четыре буквы.
Какова вероятность получения слова "МАМА"?
Решение.
Вероятность события, что первой будет выбрана
буква М равна 0,2; вероятность того, что далее
будет выбрана буква А составляет 3/9=1/3. Следующая
вероятность выбора буквы М равна 0,125, и, наконец,
что последней будет выбрана буква А составляет 2/7.
В итоге получаем, что вероятность получения
слова «МАМА» равна p=0,2*1/3*0,125*2/7=1/420
ОТВЕТ: 1/420

Формула полной вероятности

Формула полной вероятности
Теорема. Вероятность события A, которое может
наступить лишь при условии появления одного
из несовместных событий (гипотез) B1, B2,…, Bn,
образующих полную группу, равна сумме
произведений вероятностей каждого из этих
событий на соответствующую условную
вероятность
события
A:
p (A) = pВ
(1) ×p BA
+p В
(2) ×p BA
+ ... +p В
(n) ×p BA
1
2
n

ЗАДАЧА 11. Ковбой Джон попадает в муху
на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из
пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из
не пристрелянного револьвера, то он попадает
в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит
10 револьверов, из них только 2 пристрелянные.
Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу
хватает первый попавшийся револьвер
и стреляет в муху. Найдите вероятность того,
что Джон промахнётся.
Решение.
Обозначим А=;
В=
С=
p (A) = pВ
() ×p BA +p (C) ×p CA
p (A) = 0, 2 × 0, 2 + 0,8 × 0,8 = 0,68
ОТВЕТ: 0,68

ЗАДАЧА 12. Всем пациентам с подозрением на
гепатит делают анализ крови. Если анализ
выявляет гепатит, то результат анализа
называется положительным. У больных
гепатитом пациентов анализ даёт положительный
результат с вероятностью 0,9. Если пациент не
болен гепатитом, то анализ может дать ложный
положительный результат с вероятностью 0,01.
Известно, что 5% пациентов, поступающих с
подозрением на гепатит, действительно больны
гепатитом. Найдите вероятность того, что
результат анализа у пациента, поступившего в
клинику с подозрением на гепатит, будет
положительным.
Решение.
Обозначим A = { Проба дала положительный анализ}
Р (А) = 0,05 × 0,9 + 0,95 × 0,01 = 0,045 + 0,0095 = 0,0545
ОТВЕТ: 0,0545

Повторение испытаний. Формула Бернулли

Повторение испытаний.
Формула Бернулли
Рассматривают независимые повторения одного и того
же испытания с двумя возможными исходами,
которые условно называют «успех» и «неудача».
Вероятность того, что при n таких
повторениях произойдет ровно k «успехов»
можно найти по формуле Бернулли,
где вероятность появления события А в одном опыте
равна p , а его непоявления равна q = 1- p .

ЗАДАЧА 13. Какова вероятность того, что
при 5 бросаниях игрального кубика
«пятерка» выпадет ровно 2 раза?
Ответ округлите до сотых.
Решение
Обозначим A
Выпало
={
5
очков}
1
1 5
5!
4 ×5
2
p = p (A) = ; q = p (A) = 1 - = ; C5 =
=
= 10
6
6 6
3!× 2!
2
æ1ö
P5 (2) = 10 × ç ÷
è6ø
2
3
æ 5 ö 10 ×125
×ç ÷ =
» 0,16
7776
è6ø
ОТВЕТ: 0,16

ЗАДАЧА 14. За один выстрел стрелок поражает мишень с вероятностью 0,1. Найдите вероятность того, что при пяти выстрелах он хотя бы раз попадет

ЗАДАЧА 14. За один выстрел стрелок
поражает мишень с вероятностью 0,1.
Найдите вероятность того, что при пяти
выстрелах он хотя бы раз попадет в мишень.
Решение.
Обозначим А = { Стрелок поразил мишень}
р(А)=р=0,1; q=1-0,1=0,9
Вероятность того, что стрелок не попадет ни
разу, т.е. совершит 5 промахов вычисляется по
формуле Q = C50 × p 0 × q 5 = 0,95 = 0,59049
Тогда вероятность хотя бы одного попадания
будет равна P = 1 - Q = 1 - 0,59049 = 0, 40951
ОТВЕТ: 0,40951

ЗАДАЧА 15. На фабрике керамической посуды
10% произведённых тарелок имеют дефект.
При контроле качества продукции выявляется 80%
дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают
в продажу. Найдите вероятность того, что случайно
выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов.
Результат округлите до сотых.
Решение.
Пусть всего произведено X тарелок. Качественных
тарелок 0,9X, они поступают в продажу. Дефектных
тарелок 0,1X, из них в продажу поступает
0,2·0,1X=0,02X. Всего в продажу поступило
0,9X+0,02X=0,92X тарелок. Вероятность купить
тарелку без дефектов равна
0,9X/0,92X=45/46≈0,98.
ОТВЕТ: 0,98

ЗАДАЧА 16. Агрофирма закупает куриные яйца в
двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого
хозяйства – яйца высшей категории, а из второго
хозяйства – 20% яиц высшей категории. Всего
высшую категорию получает 35% яиц. Найдите
вероятность того, что яйцо, купленное у этой
агрофирмы, окажется из первого хозяйства
Решение.
1 способ.
Обозначим A = { Яйцо имеет высшую категорию}
В1 = { яйцо из 1 хозяйства} ; В2 = { яйцо из 2 хозяйства}
p (B1) = p
p (A) = pВ
(1) ×p BA
+p В
(2) ×p BA
=
1
2
= p × 0, 4 + (1 - p) × 0, 2 = 0, 2 p + 0, 2 = 0,35
Отсюда 0, 2 p = 0,15 или p = 0,75
ОТВЕТ: 0,75

2 способ.
Пусть X яиц произведено в первом хозяйстве,
а Y яиц – во втором.
Тогда 0,4X+0,2Y=0,35(X+Y) или 0,05X=0,15Y
Окончательно X=3Y=0,75(X+Y)
ОТВЕТ: 0,75