Цель урока: дать определение подобных треугольников, доказать теорему об отношении подобных треугольников.

Задачи урока:

• Образовательные: учащиеся должны знать определение подобных треугольников, теорему об отношении подобных треугольников, уметь применять их при решении задач, реализовывать межпредметные связи с алгеброй и физикой.
• Воспитательные: воспитывать трудолюбие, внимательность, прилежание, воспитывать культуру поведения учащихся.
• Развивающие: развитие у учащихся внимания, развития умения рассуждать, логически мыслить, делать выводы, развития у учащихся грамотной математической речи и мышления, развивать навыки самоанализа и самостоятельности.
• Здоровьесберегающие: соблюдение санитарно-гигиенических норм, смена видов деятельности на уроке.

Оборудование: компьютер, проектор, дидактический материал: самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса А.П. Ершова, и др.

Тип урока: изучение нового материала.

Ход урока

I. Организационный момент (приветствие, проверка готовности к уроку).

II. Сообщение темы урока.

Учитель: В повседневной жизни встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров.

Пример: футбольный и теннисный мячи.

В геометрии фигуры одинаковой формы называют подобными: любые два круга, любые два квадрата.

Введем понятие подобных треугольников.

Определение: Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия. ΔABC ~ A 1 B 1 C 1

1. Устно: Подобны ли треугольники? Почему? (заготовленный чертеж на экране).

а) Треугольник ABC и треугольник A 1 B 1 C 1 , если AB = 7, BC = 5, AC = 4, ∠A = 46˚, ∠C = 84˚, ∠A 1 = 46˚, ∠B 1 = 50˚, A 1 B 1 = 10,5 , B 1 C 1 = 7,5, A 1 C 1 = 6.

б) В одном равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 24˚, а в другом равнобедренном треугольнике угол при основании равен 78˚.

Ребята! Вспомним теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу.

Теорема: Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

2. Письменная работа по заготовленным чертежам.

На экране чертеж:

а) Дано: BN: NC = 1:2,

BM = 7 см, AM = 3 см,

S MBN = 7 см 2 .

Найти: S ABC

(Ответ: 30 см 2 .)

б) Дано: AE = 2 см,

S AEK = 8 см 2 .

Найти: S ABC

(Ответ: 56 см 2 .)

3. Докажем теорему об отношении площадей подобных треугольников (доказывает теорему ученик на доске, помогает весь класс ).

Теорема: Отношение двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

4. Актуализация знаний.

Решение задач:

1. Площади двух подобных треугольников равны 75 см 2 и 300 см 2 . Одна из сторон второго треугольника равна 9см. Найти сходственную ей сторону первого треугольника. (Ответ: 4,5 см.)

2. Сходственные стороны подобных треугольников равны 6см и 4см, а сумма их площадей равна 78 см 2 . Найти площади этих треугольников. (Ответ: 54 см 2 и 24 см 2 .)

При наличии времени самостоятельная работа обучающего характера.

Вариант 1

У подобных треугольников сходственные стороны равны 7 см и 35 см.

Площадь первого треугольника равна 27 см 2 .

Найти площадь второго треугольника. (Ответ: 675 см 2 .)

Вариант 2

Площади подобных треугольников равны 17 см 2 и 68 см 2 . Сторона первого треугольника равна 8см. Найти сходственную сторону второго треугольника. (Ответ: 4 см.)

5. Домашнее задание: учебник геометрии 7-9 Л.С. Атанасян и др., п. 57, 58, № 545, 547.

6. Подведение итогов урока.

Пропорциональные отрезки

Для введения понятия подобия вначале нам необходимо вспомнить понятие пропорциональных отрезков. Вспомним также определение отношения двух отрезков.

Определение 1

Отношением двух отрезков называется отношение их длин.

Понятие пропорциональности отрезков имеет место и для большего числа отрезков. Пусть, к примеру, $AB=2$, $CD=4$, $A_1B_1=1$, $C_1D_1=2$, $A_2B_2=4$, $C_2D_2=8$, тогда

То есть отрезки $AB$, $A_1B_1$, $\ A_2B_2$ пропорциональны отрезкам $CD$, $C_1D_1$, $C_2D_2$.

Подобные треугольники

Вспомним для начала, что вообще представляет себе понятие подобия.

Определение 3

Фигуры называются подобными, если они имеет одинаковую форму, но разные размеры.

Разберемся теперь с понятием подобных треугольников. Рассмотрим рисунок 1.

Рисунок 1. Два треугольника

Пусть у этих треугольников $\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1$. Введем следующее определение:

Определение 4

Стороны двух треугольников называются сходственными, если они лежат напротив равных углов этих треугольников.

На рисунке 1, стороны $AB$ и $A_1B_1$, $BC$ и $B_1C_1$, $AC$ и $A_1C_1$ сходственные. Введем теперь определение подобных треугольников.

Определение 5

Два треугольника называются подобными, если углы все углы одного треугольника соответственно равны углам другого и треугольника, и все сходственные стороны этих треугольников пропорциональны, то есть

\[\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1,\] \[\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}\]

На рисунке 1 изображены подобные треугольники.

Обозначение: $ABC\sim A_1B_1C_1$

Для понятия подобия существует также понятие коэффициента подобия.

Определение 6

Число $k$, равное отношению сходственных сторон подобных фигур называется коэффициентом подобия этих фигур.

Площади подобных треугольников

Рассмотрим теперь теорему об отношении площадей подобных треугольников.

Теорема 1

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, то есть

\[\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=k^2\]

Доказательство.

Рассмотрим два подобных треугольника и обозначим их площади, соответственно $S$ и $S_1$ (рис. 2).

Рисунок 2.

Для доказательства этой теоремы вспомним следующую теорему:

Теорема 2

Если угол одного треугольника равен углу второго треугольника, то их площади относятся как произведения сторон, прилегающих к этому углу.

Так как треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, то, по определению,$\angle A=\angle A_1$. Тогда, по теореме 2, получим, что

Так как $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$, получим

Теорема доказана.

Задачи, связанные с понятием подобия треугольника

Пример 1

Даны подобные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1.$ Стороны первого треугольника $AB=2,\ BC=5,\ AC=6$. Коэффициент подобия данных треугольников $k=2$. Найти стороны второго треугольника.

Решение.

Данная задача имеет два возможных решения.

Пусть $k=\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{{B_1C}_1}{BC}=\frac{A_1C_1}{AC}$.

Тогда $A_1B_1=kAB,\ {B_1C}_1=kBC,\ A_1C_1=kAC$.

Следовательно, $A_1B_1=4,\ {B_1C}_1=10,\ A_1C_1=12$

Пусть $k=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$

Тогда $A_1B_1=\frac{AB}{k},\ {B_1C}_1=\frac{BC}{k},\ A_1C_1=\frac{AC}{k}$.

Следовательно, $A_1B_1=1,\ {B_1C}_1=2,5,\ \ A_1C_1=3$.

Пример 2

Даны подобные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1.$ Сторона первого треугольника $AB=2$, соответствующая сторона второго треугольника $A_1B_1=6$. Высота первого треугольника $CH=4$. Найти площадь второго треугольника.

Решение.

Так как треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, то $k=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{1}{3}$.

Найдем площадь первого треугольника.

По теореме 1, имеем:

\[\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=k^2\] \[\frac{4}{S_{A_1B_1C_1}}=\frac{1}{9}\] \

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.

Цель урока:Доказать свойство площадей подобных треугольников и показать его практическую значимость при решении задач.

Задачи урока:

обучающие – доказать свойство площадей подобных треугольников и показать его практическую значимость при решении задач;

развивающие – развивать умение анализировать и подбирать аргументацию при решении задачи, способ решения которой неизвестен;

воспитательные – воспитывать интерес к предмету через содержание учебного процесса и создание ситуации успеха, воспитывать умение работать в группе.

Учащийся владеет следующими знаниями:

Единица деятельностного содержания, которое нужно усвоить учащимся:

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

3. Работа с проблемной ситуацией.

4. Подведение итогов урока и запись домашнего задания, рефлексия.

Методы обучения: словесные, наглядные, проблемно-поисковые.

Формы обучения:фронтальная работа, работа в мини-группы, индивидуальная и самостоятельная работа.

Технологии: задачно-целевая, информационные технологии, компетентностный подход.

Оборудование:

компьютер, проектор для демонстрации презентации, интерактивная доска, документ камера;

компьютерная презентация в MicrosoftPowerPoint;

опорный конспект;

Ход урока

1. Организационный момент.

Сегодня на уроке мы будем работать не в тетрадях, а в опорных конспектах, которые будете заполнять на продолжение всего урока. Подпишите его. Оценка за урок будет состоять из двух составляющих: за опорный конспект и за активную работу на уроке.

2. Актуализация знаний учащихся. Подготовка к активной учебно-познавательной деятельности на основном этапе урока.

Мы продолжаем с вами изучать тему «подобие треугольников». Поэтому давайте вспомним то, что изучали на прошлом уроке.

Теоретическая разминка. Тест. В ваших опорных конспектах первое задание имеет тестовый характер. Ответьте на вопросы, выбирая один из предложенных вариантов ответа, где необходимо впишите свой ответ.

1. Учитель: Что называется отношением двух отрезков?

Ответ: Отношением двух отрезков двух отрезков называется отношение их длин.

1. Учитель: В каком случае отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A 1 B 1 и C 1 D 1

Ответ: отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A 1 B 1 и C 1 D 1 , если

Ваши варианты. Хорошо. Не забудьте исправить у кого не так.

1. Учитель: Дайте определение подобных треугольников? Обратитесь к вашему опорному конспекту. У Вас три варианта ответа на этот вопрос. Выберите правильный. Обведите его.

Так, пожалуйста, какой вариант выбрал ты_______

Ответ: Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника.

Молодцы! Исправьте у кого не так.

1. Учитель: Чему равно отношение площадей двух треугольников, имеющих по равному углу?

Ответ: Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Решение задач по готовым чертежам. Далее наша разминка будет происходить в ходе решения задач по готовым чертежам. Эти задачи так же вы видите в ваших опорных конспектах.

Рефлексия. Давайте уточним, какие знания и умения позволили нам решить эти задачи. Какими методами решения мы пользовались (фиксация ответов на доске).

Возможные ответы:

Определение подобных треугольников;

Применение определения подобных треугольников при решении задач;

Теорема об отношении площадей треугольников имеющих по равному углу;

А сейчас я предлагаю к решению несколько задач способ решения, которых перекликается с темой урок, но связаны они больше с географией.

Ситуация успеха.

Первая задача перед Вами. Над этой задачей работаем самостоятельно. Первый справившийся покажет свое решение у доски, и кто-то продемонстрирует свое решение через документ камеру, поэтому пишем красиво и аккуратно.

Ответ: стороны бермудского треугольника 2000 км, 1840 км, 2220 км. Длина границы 6060 км.

Рефлексия.

Возможный ответ: у подобных треугольников сходственные стороны пропорциональны.

Ситуация успеха.

С размерами Бермудского треугольника мы разобрались. Ну а теперь выясним измерения цветочной клумбы. Переворачиваем опорные конспекты. Вторая задача. Эту задачу решаем, работая в парах. Проверяем аналогичным способом, но только результат будет представлять уже пара первая справившаяся с заданием.

Ответ: стороны треугольной клумбы 10м и 11м 20 см.

Итак, сверяемся. Все ли согласны? Кто решал другим способом?

Рефлексия.

Каким способом действия вы пользовались при решении этой задачи? Запишите в свой опорный конспект.

Возможный ответ:

у подобных треугольников соответственные углы равны;

площади треугольников имеющих по равному углу относятся как произведения сторон заключающих равные углы.

Ситуация сбоя.

5. Изучение нового материала.

При решениитретьей задачи учащиеся сталкиваются с проблемой. У них не получается решить задачу, так как по их мнению недостаточно полное условие задачи или получают необоснованный ответ.

С таким типом задач учащиеся не встречались ранее, поэтому произошел сбой при решении задачи.

Рефлексия.

Каким методом пытались решить?

Почему не получилось решить последнее уравнение?

Ученики: Мы не можем найти площадь треугольника, если известны только площадь подобного треугольника и коэффициент подобия.

Таким образом, цель нашего урока найти площадь треугольника, если известны только площадь подобного треугольника и коэффициент подобия.

Давайте переформулируем задачу на геометрический язык. Решим ее, а затем вернемся к этой задаче.

Вывод: Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Ну а теперь давайте вернемся к задаче №3 и решим ее, опираясь на доказанный факт.

7. Итог урока

Что сегодня вы научились делать нового?

Решать задачи, в которых известны коэффициент подобия и площадь одного из подобных треугольников.

Какое геометрическое свойство нам в этом помогло?

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Домашнее задание.

П. 58 стр.139 №546, 548

Творческое задание.

Найдите чему равно отношение периметров двух подобных треугольников (№547)

До свидания.

Пропорциональные отрезки

Для введения понятия подобия вначале нам необходимо вспомнить понятие пропорциональных отрезков. Вспомним также определение отношения двух отрезков.

Определение 1

Отношением двух отрезков называется отношение их длин.

Понятие пропорциональности отрезков имеет место и для большего числа отрезков. Пусть, к примеру, $AB=2$, $CD=4$, $A_1B_1=1$, $C_1D_1=2$, $A_2B_2=4$, $C_2D_2=8$, тогда

То есть отрезки $AB$, $A_1B_1$, $\ A_2B_2$ пропорциональны отрезкам $CD$, $C_1D_1$, $C_2D_2$.

Подобные треугольники

Вспомним для начала, что вообще представляет себе понятие подобия.

Определение 3

Фигуры называются подобными, если они имеет одинаковую форму, но разные размеры.

Разберемся теперь с понятием подобных треугольников. Рассмотрим рисунок 1.

Рисунок 1. Два треугольника

Пусть у этих треугольников $\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1$. Введем следующее определение:

Определение 4

Стороны двух треугольников называются сходственными, если они лежат напротив равных углов этих треугольников.

На рисунке 1, стороны $AB$ и $A_1B_1$, $BC$ и $B_1C_1$, $AC$ и $A_1C_1$ сходственные. Введем теперь определение подобных треугольников.

Определение 5

Два треугольника называются подобными, если углы все углы одного треугольника соответственно равны углам другого и треугольника, и все сходственные стороны этих треугольников пропорциональны, то есть

\[\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1,\] \[\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}\]

На рисунке 1 изображены подобные треугольники.

Обозначение: $ABC\sim A_1B_1C_1$

Для понятия подобия существует также понятие коэффициента подобия.

Определение 6

Число $k$, равное отношению сходственных сторон подобных фигур называется коэффициентом подобия этих фигур.

Площади подобных треугольников

Рассмотрим теперь теорему об отношении площадей подобных треугольников.

Теорема 1

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, то есть

\[\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=k^2\]

Доказательство.

Рассмотрим два подобных треугольника и обозначим их площади, соответственно $S$ и $S_1$ (рис. 2).

Рисунок 2.

Для доказательства этой теоремы вспомним следующую теорему:

Теорема 2

Если угол одного треугольника равен углу второго треугольника, то их площади относятся как произведения сторон, прилегающих к этому углу.

Так как треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, то, по определению,$\angle A=\angle A_1$. Тогда, по теореме 2, получим, что

Так как $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$, получим

Теорема доказана.

Задачи, связанные с понятием подобия треугольника

Пример 1

Даны подобные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1.$ Стороны первого треугольника $AB=2,\ BC=5,\ AC=6$. Коэффициент подобия данных треугольников $k=2$. Найти стороны второго треугольника.

Решение.

Данная задача имеет два возможных решения.

Пусть $k=\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{{B_1C}_1}{BC}=\frac{A_1C_1}{AC}$.

Тогда $A_1B_1=kAB,\ {B_1C}_1=kBC,\ A_1C_1=kAC$.

Следовательно, $A_1B_1=4,\ {B_1C}_1=10,\ A_1C_1=12$

Пусть $k=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$

Тогда $A_1B_1=\frac{AB}{k},\ {B_1C}_1=\frac{BC}{k},\ A_1C_1=\frac{AC}{k}$.

Следовательно, $A_1B_1=1,\ {B_1C}_1=2,5,\ \ A_1C_1=3$.

Пример 2

Даны подобные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1.$ Сторона первого треугольника $AB=2$, соответствующая сторона второго треугольника $A_1B_1=6$. Высота первого треугольника $CH=4$. Найти площадь второго треугольника.

Решение.

Так как треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, то $k=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{1}{3}$.

Найдем площадь первого треугольника.

По теореме 1, имеем:

\[\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=k^2\] \[\frac{4}{S_{A_1B_1C_1}}=\frac{1}{9}\] \