Суждение – форма мышления, в которой что–либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах или отношениях между ними.

Суждение характеризуется содержанием иформой .Содержание суждения – это то, о чем в нем идет речь, его смысл.

Логическая форма суждения – его строение, способ связи его составных частей.

Суждение всегда повествовательное предложение. По структуре мо-

жет быть простымили сложным.

В суждении выделяют субъект S (логическое подлежащее ) – это понятие, о котором идет речь в суждении;предикат P (логическое сказуемое )

– это понятие, с помощью которого что–либо утверждается или отрицается о субъекте исвязку – словаесть ,является ,называется (часто отсутствует).

Простым называется суждение, в котором присутствуют только один субъект и один предикат.

Суждение называется сложным , если оно образовано из простых с помощью логических операций (связок).

По качеству простые суждения делятся наутвердительные (связка

есть ) иотрицательные (связкане есть ).

Пример 1. Дано суждение " Земля является планетой".

В нем субъект S – "Земля", предикат P – " планета", связка – слово "является ". Следовательно, суждение простое, утвердительное.

Пример 2. Суждение " Лекция по логике сегодня не состоится".

Субъект S – "лекция по логике", предикат P – "сегодня состоится", связка в суждении опущена, есть частица не . Следовательно, это суждение простое, отрицательное.

По количеству суждения делятся наобщие ,частные . Количество определяется объемом субъекта суждения. Объем субъекта может быть пол-

ным (все ,ни один ) или частичным (некоторые ).

Пример 3. Все студенты являются учащимися (общее).Некоторые животные являются хищниками (частное). Солнце – это небесное тело (общее, так как речь идет о всем объеме понятия «солнце», конкретном Солнце). Простое суждение можно записать в виде формулы. Количественная характеристика суждений передается с помощью кванторов. Единичные суждения относятся к общим.

– квантор общности заменяет слова « все», «любой», "каждый»и т.п.

S P(S) означает, что " для всякого S верно Р(S)", «Все S есть P» .

– квантор существования заменяет слова « некоторые» , « существует», «часть» и т.п.

S P(S) означает, что " существует S, для которого верно P (S)", «Некоторые S есть P» .

Пример 4. Дано суждение " Некоторые студенты сдают экзамены до-

срочно ". Это простое суждение, выделим в нем логическое подлежащее и логическое сказуемое. S – "студент", P – "сдающий экзамены досрочно". Суждение по качеству является утвердительным, так как характер взаимосвязи субъекта и предиката выражен глаголом без частицы "не ". По количеству суждение частное, так как используется слово "некоторые ". Следовательно, суждение с помощью логических символов запишется в виде формулы S P(S).

Таблица 2. Классификация простых суждений

Вид суждения, обозначение, формула и структура

Общеутвердительное (A):S

Все S есть P

Общеотрицательное (E):S

Ни одно S не есть P

Частноутвердительное (J):S

Некоторые S есть P

Частноотрицательное (O):S

Некоторые S не есть P

Отношения объемов понятий

S и P

Все фиалки (S) являются цветами (P) Дождливые дни (S) наводят скуку (P)

Ни один человек (S)

не любит нравоучений (P) Мушкетеры (S)

не уклоняются от дуэлей (P)

Некоторые люди (S)

играют в шахматы (P)

Среди людей (S)

встречаются флегматики (P)

Некоторые люди (S)

не знают вкус форели (P)Многие мушкетеры (S)не любили

кардинала (P)

Отрицание простых суждений. Чтобы построить отрицание суждения с квантором, достаточно заменить квантор на противоположный, а отрицание перенести на предикат.

Пример 6. Исходное суждение «Все книги сданы в библиотеку ». Необхо-

димо построить его отрицание. Определим вид суждения и запишем его формулу. S – «книги», P – «сданы в библиотеку». Есть слово «все », отсутствует «не ». Получаем, что суждение по количеству общее и по качеству утвердительное:общеутвердительное (вид А).

Берем данные из таблицы 2 и записываем его формулу:

Строим отрицание сначала в символическом виде, а затем, запишем его словами. Работаем по приведенному выше правилу.

Меняем квантор на противоположный: был, стал. Отрицание переходит на предикат.

Цепочка преобразований:

Запишем суждение словами: «Некоторые книги не сданы в библиотеку ».

Пример 7. Дано суждение « Некоторые студенты не посещают лекции».

Построить его отрицание.

S – «студенты», P – «те, кто посещает лекции». Суждение по количеству частное («некоторые »), по качеству отрицательное (частица «не »). Получаемчастноотрицательное (вид О).

Запишем формулу

Строим отрицание по правилу. Квантор ме-

няем с на. Над предикатом появилось двойное отрицание: одно было по формуле, второе появилось в результате преобразования. Двойное отрицание просто убирается.

S Р(S) SP(S) SP(S)

Теперь словами: « Все студенты посещают лекции».

Как видно из примеров суждения (А) и (О) находятся в отношении противоречия. То есть, отрицая суждение одного вида, всегда получаем сужение другого вида. Аналогичная картина для суждений (E) и (J).

По логическому значению любое суждение может быть истинным , а может бытьложным . Если исходное суждение истино, то суждение полученное в результате отрицания исходного будет ложным и наоборот. Это хорошо видно из приведенных выше примеров.

Если рассмотреть все четыре вида суждений (A, E, J, O), образованных на одной паре понятий «субъект-предикат», то зная логическое значение одного из них, нередко можно указать значения трех других суждений. Данную зависимость между значениями в логике называют «логическим квадратом». Он представляет собой систему парных отношений между логическими значениями:

Пары A-O и J-E находятся в отношениипротиворечия , как выше уже было отмечено, их логические значения всегда противоположны, т.е. если одно «истина», то другое «ложь» и наоборот.

Пара общих суждений A-E – в отношении противоположности, что означает невозможность одновременно принимать значение «истина», но не исключает одновременную «ложь».

Пара частных суждений J-O – в отношенииподпротивности (подпротивоположности) , что, напротив предудущему отношению, означает невозможность одновременной «лжи», но допускает одновременную «истину». Пары утвердительных суждений A-J и отрицательных суждений E-O находятся в отношенииподчинения : если первое есть «истина», то второе также «истина» и напротив, если второе есть «ложь», то и первое также «ложь».

Данные шесть пар отношений можно изобразить на схеме в виде 4-х вершинного полного графа.

Задание 2. Определить логическое подлежащее, логическое сказуемое и вид данного суждения. Записать формулу суждения. Построить формулу отрицания данного суждения, записать полученное суждение словами, определить вид полученного суждения. Определить логическое значение двух других видов суждений, образованных с теми же субъектом и предикатом на основе логического квадрата.

2.1. Ни один эгоист не может быть великодушным.

2.2. Всякий хирург является по образованию врачом.

2.3. Среди студентов встречаются инициативные люди.

2.4. Некоторые сообщения не соответствуют действительности.

2.5. Всем людям приходится рисковать.

2.6. Некоторые студенты не занимаются спортом.

2.7. Ни одно слово не должно остаться без внимания.

2.8. Некоторые люди владеют несколькими иностранными языками.

2.9. У некоторых больных нет температуры.

2.10. Не все предприниматели имеют высшее образование.

2.11. Некоторые океаны имеют пресную воду.

2.12. Некоторые студенты не являются отличниками.

2.13. Ни один студент нашей группы не живет в общежитии.

2.14. Каждый солдат мечтает стать генералом.

2.15. Все электроны являются элементарными частицами.

2.16. Ни один человек не застрахован от неудач.

2.17. Каждый студент КузГТУ изучает математику.

2.18. Часть военнослужащих являются офицерами.

2.19. Ни один прокурор не является адвокатом.

2.20. Все студенты рады окончанию сессии.

2.21. Некоторые растения не переносят сухую землю.

2.22. Всем спортсменам необходимы тренировки.

2.23. Есть певцы с великолепными голосами.

2.24. Каждый математик должен разбираться в логике.

2.25. Некоторые политики являются писателями.

2.26. Некоторые жители нашей страны имеют двойное гражданство.

2.27. Некоторые животные являются насекомыми.

2.28. Ни один поклонник не откажется от встречи с кумиром.

2.29. Некоторые растения не цветут в Сибири.

2.30. Никто из родителей не желает зла своим детям.

Утверждающей или отрицающей что-либо о существовании предметов, о связях между ними и их свойствами, а также об отношениях между предметами.

Примеры суждений: «Волга впадает в Каспийское море», «А.С. Пушкин написал поэму «Медный всадник», «Уссурийский тигр занесен в Красную книгу», и т.д.

Структура суждения

Суждение включает в себя следующие элементы: субъект, предикат, связка и квантор.

1. Субъект (лат. subjektum - «лежащий в основе») - то, о чем говорится в данном суждении, его предмет («S»).
2. Предикат (лат. praedicatum - «сказанный») - отражение признака предмета, то, что говорится о субъекте суждения («Р»).
3. Связка - отношение, между субъектом («S») и предикатом («Р»). Определяет наличие/отсутствие у субъекта какого-либо свойства, выраженного в предикате. Может как подразумеваться, так и обозначается знаком «тире» либо словами «является» («не является»), «имеется», «есть», «суть» и др.
4. Квантор (кванторное слово) определяет объем понятия, к которому относится субъект суждения. Стоит перед субъектом, но может также и отсутствовать в суждении. Обозначается такими словами, как «все», «многие», «некоторые», «ни один», «никто» и др.

Истинные и ложные суждения

Суждение является истинным в том случае, когда наличие признаков, свойств и отношений предметов, утверждаемых/отрицаемых в суждении, соответствует действительности. Например: «Все ласточки - птицы», «9 больше 2-х» и т. д.

Если утверждение, содержащееся в суждении, не соответствует действительности, мы имеем дело с ложным суждением: «Солнце вращается вокруг Земли», «Килограмм железа тяжелее, чем килограмм ваты» и др. Правильные суждения составляют основу правильных умозаключений.

Однако помимо двузначной логики, в которой суждение может быть либо истинным, либо ложным, существует также многомерная логика. Согласно ее условиям, суждение может быть еще и неопределенным. Особенно это касается будущих единичных суждений: «Завтра произойдет / не произойдет морское сражение» (Аристотель, «Об истолковании»). Если предположить, что это истинное суждение, то морское сражение завтра уже не может не произойти. Следовательно, необходимо, чтобы оно произошло. Либо наоборот: утверждая, что данное суждение в настоящий момент является ложным, мы тем самым делаем необходимой невозможность завтрашнего

Суждения по типу высказывания

Как известно, по типу высказывания выделяют три типа побудительное и вопросительное. Например, предложение «Я помню чудное мгновенье» относится к повествовательному типу. Целесообразно предложить, что такое суждение также будет повествовательным. Оно содержит определенную информацию, сообщает об определенном событии.

В свою очередь, вопросительное предложение содержит в себе вопрос, подразумевающий ответ: «Что день грядущий мне готовит?» При этом оно ничего не констатирует и не отрицает. Соответственно, утверждение, что такое суждение является вопросительным, ошибочно. Вопросительное предложение в принципе не содержит в себе суждения, так как вопрос не может дифференцироваться по принципу истинности/ложности.

Побудительный тип предложений образуется в том случае, когда имеет место определенное побуждение к действию, просьба либо запрет: «Восстань, пророк, и видь, и внемли». Что касается суждений, то по мнению одних исследователей, они не содержатся в предложениях подобного типа. Другие же считают, что речь идет о разновидности модальных суждений.

Качество суждения

С точки зрения качества, суждения могут быть как утвердительными (S есть P), так и отрицательными (S не есть P). В случае с утвердительным суждением, с помощью предиката субъекту придается определенное свойство(-ва). Например: «Леонардо да Винчи - итальянский живописец, архитектор, скульптор, ученый, естествоиспытатель, а также изобретатель и писатель, крупнейший представитель искусства Возрождения».

В отрицательном суждении, напротив, свойство от субъекта отнимается: «Теория 25-го кадра Джеймса Вайкери не имеет экспериментального подтверждения».

Количественная характеристика

Суждения в логике могут иметь общий характер (относящиеся ко всем предметам данного класса), частные (к некоторым из них) и единичные (когда речь идет о предмете, существующем в единственном экземпляре). Например, можно утверждать, что такое суждение, как «Ночью все кошки серы» будет относиться к общему виду, поскольку оно затрагивает всех представителей кошачьих (субъект суждения). Утверждение же «Некоторые змеи не являются ядовитыми» - пример частного суждения. В свою очередь, суждение «Чуден Днепр при тихой погоде» является единичным, так как речь идет об одной конкретной реке, существующей в единственном виде.

Простые и сложные суждения

В зависимости от структуры, суждение может относиться к типу простых или сложных. Структура простого суждения включает в себя два связанных между собой понятия (S-P): «Книга - источник знаний». Также существуют суждения с одним понятием - когда второе только подразумевается: «Смеркалось» (P).

Сложный вид образуется посредством соединения нескольких простых суждений.

Классификация простых суждений

Простые суждения в логике могут быть следующих видов: атрибутивные, суждения с отношениями, экзистенциальные, модальные.

Атрибутивные (суждения-свойства) направлены на утверждение/отрицание наличия у предмета определенных свойств (атрибутов), Данные суждения имеют категорическую форму и не подвергаются сомнению: «Нервная система млекопитающих состоит из головного и отходящих нервных путей».

В суждениях с отношениями рассматриваются определенные отношения между предметами. Они могут иметь пространственно-временной контекст, причинно-следственный и др. Например: «Старый друг лучше новых двух», «Водород легче углекислого газа в 22 раза».

Экзистенциальное суждение - это утверждение существования/несуществования предмета (как материального, так и идеального): «Нет пророка в своем отечестве», «Луна является спутником Земли».

Модальное суждение - это форма утверждения, в составе которого присутствует определенный модальный оператор (необходимо, хорошо/плохо; доказано, известно/неизвестно, запрещено, верю, и др.). Например:

• «В России необходимо проведение образовательной реформы» (алетическая модальность - возможность, необходимость чего-либо).
• «Каждый имеет право на личную неприкосновенность» (деонтическая модальность - нравственные нормы общественного поведения).
• «Небрежное отношение к государственному имуществу приводит к его утрате» (аксиологическая модальность - отношение к материальным и духовным ценностям).
• «Мы верим в вашу невиновность» (эпистемическая модальность - степень достоверности знаний).

Сложные суждения и виды логических связок

Как уже отмечалось, сложные суждения состоят из нескольких простых. В качестве логических связок между ними выступают такие приемы, как:

Суждение - это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о связи между предметом и его признаком либо об отношениях между предметами . Основной логической характеристикой суждения является его истинностное значение - каждое суждение либо истинно, либо ложно . Суждение истинно тогда, и только тогда, когда описываемая в нем ситуация имеет место в действительности, в противном случае оно ложно.

Простым суждением называется суждение, выражающее связь двух терминов . Терминами в простом суждении называют субъект и предикат суждения. Субъектом суждения (S ) называется то, о чем говорится в суждении, т.е. предмет мысли. Предикатом суждения (Р ) называется то, что говорится о субъекте, какие признаки ему приписываются или не приписываются. Помимо субъекта и предиката в структуру суждения входят квантор и связка. Квантор суждения указывает на количество суждения, т.е. указывает на общее, частичное или единичное количество субъекта суждения (выражается словами «все», «ни один», «некоторые», «этот»). Связка обозначает отношение между субъектом (S ) и предикатом (Р ) суждения, благодаря чему мысль обретает форму суждения. Связка указывает на качество суждения. (Выражается словами «есть», «не есть», «является», «не является»).

Объединенная классификация простых категорических суждений . В зависимости от количества и качества различают общеутвердительные, общеотрицательные, частноутвердительные и частноотрицательные суждения.

Общеутвердительным (А ) называют суждение общее по количеству и утвердительное по качеству. Каноническая форма «Все S есть Р» .

Общеотрицательным (Е ) называют суждение общее по количеству и отрицательное по качеству. Каноническая форма «Ни одно S не есть Р» .

Частноутвердительным (I ) называют суждение частное по количеству и утвердительное по качеству. Каноническая форма «Некоторые S есть Р» .

Частноотрицательным (О ) называют суждение частное по количеству и отрицательное по качеству. Каноническая форма «Некоторые S не есть Р » .

Распределенность терминов в простых категорических суждениях . В простых суждениях термины могут быть распределены (S + , Р + ), либо не распределены (S - , Р - ). Термин называется распределенным, если в суждении он взят в полном объеме. Термин называется нераспределенным, если в суждении он взят в части объема . Распределенность терминов в суждении выводится из определения отношений между понятиями, которыми выражаются термины суждения. При определении распределенности терминов в простых категорических суждениях следует руководствоваться следующими правилами:

а) В общеутвердительных суждениях (А ) : субъект (S Р ) всегда нераспределен в случае отношения подчинения между субъектом и предикатом суждения; субъект (S ) всегда распределен и предикат (Р ) всегда распределен в случае отношения эквивалентности между субъектом и предикатом суждения;

b) В общеотрицательных суждениях (Е ): субъект (S ) и предикат (Р ) суждения всегда распределены;

с) В частноутвердительных суждениях (I ) : субъект (S ) и предикат (Р ) нераспределены в случае отношения перекрещивания между субъектом и предикатом суждения; и субъект (S ) нераспределен, а предикат (Р ) распределен в случае отношения подчинения между предикатом и субъектом суждения;

d) В частноотрицательные суждениях (О ) : субъект суждения (S ) всегда нераспределен, а предикат суждения (Р ) всегда распределен.

Сложным суждением называется суждение, состоящее из нескольких простых, связанных логическими связками. Запись сложного суждения на символическом языке логики, в котором простые суждения заменены на символы р, q, r, s, t …, а логические союзы на замещающие их символы Ù, v, → , ↔ называется логической формой сложного суждения. Можно выделить пять основных видов логической связи:

Утверждение одновременного наличия нескольких ситуаций -конъюнкция (Ù );

Утверждение наличия хотя бы одной их нескольких ситуаций - слабая дизъюнкция (v);

Утверждение наличия только одной из нескольких ситуаций - сильная дизъюнкция ();

Одна ситуация является достаточным условием для возникновения другой ситуации - импликация (→);

Одна ситуация является достаточным и необходимым условием для возникновения другой ситуации - эквиваленция (↔).

В зависимости от вида логической связи различают следующие сложные суждения:

- соединительные суждения - суждения, в которых простые суждения соединены между собой логической связкой конъюнкция (Ù ). Логическая форма: (р Ù q );

- разделительные суждения - суждения, в которых простые суждения соединены между собой логической связкой слабая дизъюнкция (v ) или сильная дизъюнкция (). Логическая форма: (р v q ); (рq );

- условные суждения - суждения, в которых простые суждения соединены между собой логической связкой импликация (→ ) или эквиваленция (↔ ). Логическая форма: (р → q ), (р ↔ q ), где р - основание суждения, q - следствие суждения. В условных суждениях в правильной логической форме основание всегда стоит вначале, а заключение в конце формулы.

Истинностные значения сложных суждений зависят от истинностных значений составляющих суждений и от типа их связи, что определяется посредством составления таблиц истинности:

- конъюнкция (Ù ) принимает значение «Истина » только в случае одновременной истинности всех переменных; в остальных случаях конъюнкция принимает значение «Ложь » (См.: Рис. 18);

- слабая (нестрогая) дизъюнкция (v) принимает значение «Ложь » только в случае одновременной ложности всех переменных; в остальных случаях слабая дизъюнкция принимает значение «Истина » (См.: Рис. 19);

- сильная (строгая) дизъюнкция () принимает значение «Ложь » в случае одновременной истинности или ложности всех переменных; в остальных случаях сильная дизъюнкция принимает значение «Истина » (См.: Рис. 20);

- импликация (→ ) принимает значение «Ложь » только в случае истинности основания суждения и ложности следствия суждения; в остальных случаях импликация принимает значение «Истина » (См.: Рис. 21);

- эквиваленция (↔ ) принимает значение «Ложь » в случае истинности основания и ложности следствия суждения, либо наоборот, ложности основания и истинности следствия суждения; в остальных случаях эквиваленция принимает значение «Истина » (См.: Рис. 22).

отрицание суждения - это операция, состоящая в преобразовании логического содержания отрицаемого суждения, конечным результатом которой является формулирование нового суждения, находящегося в отношении противоречия к исходному суждению. Отрицание простого атрибутивного суждения производится согласно следующим эквиваленциям: А = О; Е = I; I = Е; О = А - где А, Е, I, О - виды простых категорических суждений, - знак внешнего отрицания.

Отрицание сложного суждения производится согласно следующим эквиваленциям:

(р Ù q) ↔ (р v q) – 1-й закон де Моргана

(р v q) ↔ (р Ù q) – 2-й закон де Моргана

(р q) ↔ (р ↔ q)

(р → q) ↔ (р Ù q)

(р ↔ q) ↔ (р Ù q) v (р Ù q)

Выразим сказанное выше в виде комплексных схем:

Рис. 23-24

Рис. 27.

Типовые примеры по теме «Суждение»

Задание 6 . Приведите высказывание к правильной логической форме, дайте объединенную классификацию суждений, приведите их схемы и принятые в логике обозначения А, Е, I, О.

Для решения задачи воспользуемся алгоритмом приведения предложений естественного языка к канонической форме категорических суждений и анализа простых суждений.

1. Определить субъект и предикат высказывания, обозначив их соответственно S и Р (составные S и Р подчеркнуть одной сплошной чертой ).

2. При определении предиката следует иметь в виду следующее:

Если предикат выражен существительным или словосочетанием с существительным , то в данном случае предикат остается без изменения .

Образец 1 :

«Некоторые юристы (S ) - адвокаты (Р ) ».

Если предикат выражен прилагательным или причастием , которое может быть представлено , то в этом случае .

Образец 2 :

«Некоторые розы (S ) красивы (Р ) ». → «Некоторые розы (S ) - красивые цветы (Р ) ».

Если предикат выражен глаголом , который может быть представлен одним словом или словосочетанием , то в таком случае к предикату следует добавить родовое понятие для субъекта высказывания , а глагол превратить в соответствующее ему причастие .

Образец 3 :

«Некоторые студенты нашей группы (S ) сдали сегодня по логике (Р ) ». → «Некоторые студенты нашей группы (S ) есть учащиеся, сдавшие сегодня зачет по логике (Р ) ».

3. Определить кванторное слово («все», «некоторые», «ни одно», «это»).

4. Определить логическую связку («есть», «не есть»)

5. Записать суждение в канонической форме: квантор - субъект (S ) - связка - предикат (Р ) .

6. Записать формулу суждения , определить количественно-качественную характеристику суждения.

7. Графически изобразить отношения между терминами суждения.

8. Определить распределенность терминов.

Пример 1:

« Древние греки внесли большой вклад в развитие философии».

Решение:

1. В данном предложении логически определен только субъект - «древние греки» (S ). Предикат выражен словосочетанием «внесли большой вклад в развитие философии» (Р ).

2. Приводим предикат к канонической форме. Для этого подбираем к субъекту суждения («Древние греки» ) родовое понятие («Люди» ). В канонической форме предикат будет выражен словосочетанием «Люди, внесшие большой вклад в развитие философии» .

3. Кванторное слово в предложении отсутствует , но из анализа смысла предложения ясно, что речь идет только о некоторой части древних греков . Квантор суждения - «Некоторые ».

4. В предложении утверждается наличие у субъекта «Древние греки » (S Внесли большой вклад в развитие философии » (Р ). Значит логическая связка утвердительная («есть »).

5. Каноническая форма суждения: «Некоторые древние греки (S ) есть люди. внесшие большой вклад в развитие философии (Р ) ».

6. Формула суждения - Некоторые S есть Р . Количественно-качественная характеристика суждения - частноутвердительное

7. Графически изображаем отношения между терминами суждения. Определяем отношение между понятием «Древние греки » (S ) и понятием «Люди, несшие большой вклад в развитие философии » (Р ) как отношение перекрещивания .

8. Определяем распределенность терминов: оба термина взяты в части объема, значит, они являются нераспределенными (S - , Р - ) (Рис. 28).

Пример 2:

«Никто не может нести уголовную ответственность дважды за одно и то же преступление».

Решение:

1. В данном предложении субъект явно не определен . Из анализа смысла высказывания ясно, что речь идет о понятии «Человек » (S ) . Предикат выражен словосочетанием «» (Р ).

2. Приводим предикат к канонической Человек ») родовое понятие («Живое существо »). В канонической форме предикат будет выражен словосочетанием «» (Р ).

3. Кванторное слово в предложении отсутствует , но из анализа смысла предложения ясно, что речь идет обо всем объеме понятия «человек» (S ). Квантор суждения - «Ни одно ».

4. В предложении отрицается наличие у субъекта «Человек » (S ) свойства, выраженного в предикате «Может нести уголовную ответственность дважды за одно и то же преступление » (Р ). («не есть »).

5. Записываем суждение в канонической форме: «Ни один человек (S ) не есть живое существо, которое может нести уголовную ответственность дважды за одно и то же преступление (Р ) ».

6. Записываем формулу суждения - Ни одно S не есть Р общеотрицательное (Е ).

7. Графически изображаем отношения между терминами суждения. Определяем отношение между понятием «Человек » (S ) и понятием «Живое существо, которое может нести уголовную ответственность дважды за одно и то же преступление » (Р ) как отношение несравнимости .

8. Определяем распределенность терминов: оба термина взяты в полном объеме , значит, они являются распределенными (S + , Р + ) (Рис. 29).

Пример 3:

«Некоторые грибы не являются съедобными».

Решение:

1. В данном предложении логически определен только субъект - «Грибы» ( S ) . Предикат выражен словом «Съедобными » (Р ).

2. Приводим предикат к канонической форме. Для этого подбираем к субъекту суждения («Грибы ») родовое понятие («Живые организмы »). В канонической форме предикат будет выраженсловосочетанием «Съедобные живые организмы » (Р ).

3. Кванторное слово в предложении присутствует, речь идет о части объеме понятия «Грибы » (S ). Кванторное слово суждения - «Некоторые ».

4. В предложении отрицается наличие у субъекта «Грибы » (S ) свойства, выраженного в предикате «Съедобные » (Р ). Логическая связка отрицательная («не есть »).

5. Записываем суждение в канонической форме: «Некоторые грибы (S ) не есть съедобные живые организмы (Р ) ».

6. Записываем формулу суждения - Некоторые S не есть Р . Определяем количественно-качественную характеристику суждения - частноотрицательное (О ).

7. Графически изображаем отношения между терминами суждения. Определяем отношение отношения между понятием «Грибы » (S ) и понятием «Съедобный живой организм » (Р ) как отношение перекрещивания .

8. Определяем распределенность терминов: S взят в части объема , а Р взят в полном объеме , значит, распределенность их такова: S - , Р + (Рис. 30).

Задание 7 . Рассмотрите сложные суждения, выразите их в символической записи. Укажите антецедент и консеквент в импликативных суждениях.

Пример 1:

Своих трудовых прав, свобод и законных интересов всеми не запрещенными способами».

Решение:

а) «Работник имеет право на защиту своих трудовых прав р );

б)«Работник имеет право на защиту своих свобод всеми не запрещенными способами» - (q );

в)«Работник имеет право на защиту своих законных интересов всеми не запрещенными способами» - (r ).

конъюнкция (Ù );

р Ù q Ù r

4. р, q, r – конъюнкты.

Пример 2:

«Человечество может погибнуть то ли от истощения земных ресурсов, то ли от экологической катастрофы, то ли в результате третьей мировой войны».

Решение:

1. Расчленим данное сложное суждение на простые и выразим их в правильной записи, принятой в русском языке, т.е. в соотношении подлежащего и сказуемого и обозначим эти простые суждения в форме, принятой в формальной логике:

а) «Человечество может погибнуть от истощения земных ресурсов» - (р );

б)«Человечество может погибнуть от экологической катастрофы» - (q );

в)«Человечество может погибнуть в результате третьей мировой войны» - (r ).

слабая дизъюнкция (v);

3. Формула данного сложного суждения выглядит так:

р vq vr

4. р, q, r – дизъюнкты.

Пример 3:

«Гражданин вследствие физического недостатка, болезни или неграмотности не может собственноручно подписаться, то по его просьбе сделку может подписать другой гражданин».

Решение:

1. Расчленим данное сложное суждение на простые и выразим их в правильной записи, принятой в русском языке, т.е. в соотношении подлежащего и сказуемого и обозначим эти простые суждения в форме, принятой в формальной логике:

а) «Гражданин вследствие физического недостатка не может собственноручно подписаться» - (р );

б)«Гражданин вследствие болезни не может собственноручно подписаться» - (q );

в)«Гражданин вследствие неграмотности не может собственноручно подписаться» - (r );

г)«По просьбе этого гражданина сделку может подписать другой гражданин» - (s ).

2. В данном случае имеет место утверждение наличия хотя бы одной их нескольких ситуаций, но могут одновременно наличествовать и другие ситуации - слабая дизъюнкция (v); одна из этих ситуаций или все они одновременно является достаточным условием для возникновения другой ситуации - импликация (→); таким образом, имеет место совместно слабая дизъюнкция и импликация;

3. Формула данного сложного суждения выглядит так:

(р vq vr) → s

4. р, q, r – дизъюнкты; (р vq vr) – антецедент; s – консеквент.

Пример 4:

«Брак расторгается, если судом будет установлено, что дальнейшая совместная жизнь супругов и сохранение семьи стали невозможными».

Решение:

1. Расчленим данное сложное суждение на простые и выразим их в правильной записи, принятой в русском языке, т.е. в соотношении подлежащего и сказуемого и обозначим эти простые суждения в форме, принятой в формальной логике:

а)«Судом установлено, что дальнейшая совместная жизнь супругов стала невозможной» - (р );

б)«Судом установлено, что сохранение семьи стало невозможным» - (q );

в)«Брак расторгается» - (r ).

2. В данном случае имеет место утверждение одновременного наличия нескольких ситуаций - конъюнкция (Ù ); обе эти ситуации являются достаточным условием для возникновения другой ситуации - импликация (→); таким образом, имеет место совместно конъюнкция и импликация ;

3. Формула данного сложного суждения выглядит так:

(р Ùq) → r

4. р, q – конъюнкты; (р vq) – антецедент; r – консеквент.

Задание 8 . Запишите логические формулы сложных суждений на языке логики высказываний и постройте для них истинностные таблицы.

Для решения задачи воспользуемся алгоритмом анализа сложных высказываний:

1. Определить и записать все простые суждения, из которых состоит предложение. Обозначить их символами.

2. Определить логическую связь между простыми суждениями.

3. Записать формулу сложного суждения. Если суждение условное, то необходимо определить основание и следствие.

4. Составить и заполнить таблицу истинности сложного суждения.

Пример 1.

«Оскорбление может быть нанесено случайно или намеренно»

Решение:

а) «Оскорбление может быть нанесено случайно» - (р )

б) «Оскорбление может быть нанесено намеренно» – (q )

2. Союз «или » в высказывании утверждает наличие только одной из двух ситуаций. Логическая связь в данном суждении - сильная дизъюнкция ().

3. Формула сложного суждения: р q.

4. Строим таблицу истинности для суждения данной формы.

Для построения таблицы истинности необходимо знать количество столбцов при входе в таблицу (количество переменных) и количество строк в таблице (х = 2 n , где х - количество строк в таблице, n - количество переменных формуле). В данной таблице три столбца (р , q, р q) и четыре строки (2 2 = 4). В первом столбце записываем все варианты истинности для р (И и Л). Во втором столбце против каждого из значений первого столбца фиксирует значения сначала оба раза как И, а затем оба раза как Л. Под знаком логического союза сильная дизъюнкция () записываем конечный результат, ориентируясь на таблицу истинности, помещенную на стр. 3, рис. 20. Формула данного суждения является выполнимой, так как она принимает и значение И, и значение Л.

р	q	р q
И	И	Л
Л	И	И
И	Л	И
Л	Л	Л

Система построения таблиц истинности для любого количества пропозициональных может быть понята из следующих соображений:

В общем случае число всех возможных наборов значений n переменных равно 2 n . Например, число допустимых интерпретаций для одной переменной равно 2 1 = 1 ; для двух переменных - 2 2 = 4 ; для трех переменных – 2 3 = 8; длячетырех переменных равно 16 , для пяти - 32 и т.д.

К примеру, пусть последовательность пропозициональных переменных р 1 , р 2 , …p n состоит только из одной переменной (n = 1). Тогда существует только два набора значений: <и > и <л >:

Пусть последовательность пропозициональных переменных р 1 , р 2 , …p n состоит из двух переменных (n = 2). В этом случае наборами указанных значений будут такие пары (всего их четыре ):

<и , и >, <л , и >, <и , л >, <л , л >.

Если же данная последовательность содержит три переменные, то наборами таких значений будут такие сочетания (восемь троек):

<и, и, и>, <л, и, и>, <и, л, и>, <л, л, и>,

<и, и, л>, <л, и, л>, <и, л, л>, <л, л, л>

В формальной логике применяются следующие пропозициональные связки: , ^, v, →, ↔, где

Символ отрицания (дополнения);

^ - символ конъюнкции (объединения);

v – символ нестрогой дизъюнкции (разделения-объединения);

– символ строгой дизъюнкции (разделения-исключения);

→ - символ импликации (логического следования).

↔ - символ эквиваленции (логического тождества).

В случае отрицания (дополнения) высказывание (А ) принимает значение «истина» только в том случае, если А ложно . И наоборот, если А истинно , то (А )- ложно .

Пример 2.

«Повернувшись спиной к наиболее интригующим событиям истории, невозможно понять логику этой истории».

Решение:

1. Определяем и записываем простые суждения:

а) «Человек повернулся спиной к наиболее интригующим событиям истории» - р (основание)

б) «Человек не может понять логику этой истории» - q (следствие)

2. Союз «если, … то … » означает, что ситуация, выраженная основанием («человек повернулся спиной к наиболее интригующим событиям истории» ) является достаточным условием для возникновения ситуации, выраженной следствием («человек не может понять логику этой истории» ). Логическая связь в данном суждении - импликация (→ )

3. Формула суждения: р → q

4. Строим таблицу истинности для суждения данной формы (см. стр. 4, рис. 21).

Под знаком логического союза импликация (→ ) записываем его истинностные значения. Формула данного суждения является выполнимой, так как она принимает и значение И, и значение Л.

р	q	р → q
И	И	И
Л	И	И
И	Л	И
Л	Л	И

Пример 3.

«Если студент учится на этом факультете, то он способный или очень прилежный».

Решение:

1. Определяем и записываем простые суждения:

а) «Студент учится на этом факультете» - р (основание)

б) «Этот студент способный» - q (следствие)

в) «Этот студент прилежный» - r (следствие)

2. Союз «если.., то.. » означает, что ситуация, выраженная основанием («человек учится на этом факультете») является достаточным условием для возникновения ситуации, выраженной следствием («он способный или очень прилежный»). Логическая связь в суждении - импликация (→ ). В следствии между суждениями стоит союз «или», который означает утверждение наличия хотя бы одной из двух ситуаций. Логическая связь - слабая дизъюнкция (v).

3. Формула суждения: р → (q v r )

4. Строим таблицу истинности для суждения данной формы. Количество столбцов во входе в таблицу равно трем (переменных в формуле - 3), а количество строк в таблице - 8. Для того чтобы определить истинностные значения данной формулы необходимо определить порядок действий. Первым действием находим истинностное значение слабой дизъюнкции (v), а затем истинностное значение импликации (→ ).

Истинностные значения импликации (→ ) являются истинностными значениями данной формулы. Формула данного суждения является выполнимой, так как она принимает и значение И, и значение Л.

Задание 9 . Определите модальность суждения, запишите суждения с помощью модальных операторов:

Модальность (от лат. modus – мера, способ) есть явно или неявно выраженная в суждении характеристика суждения, дополни­тельная информация о логическом и фактическом статусе суждения, о регу­лятивных, оценочных, временных и других его характеристиках, о степени его обоснованности.

Первоначальную информацию в суждении выражают, как мы уже знаем, субъ­ект , предикат , кванторное слово и способ выражения этой информации – формула (S – P) .

Что касается дополнительной информации, то она может быть самой различной. Так, например, логик середины XIII в. Вильгельм Шервуд насчитывал шесть видов модальных форм: истинно , ложно , возможно , невозможно , случайно и необходимо . В современном же логическом мышлении чаще других применяются модальности, выступающие под именами алетическая , деонтическая и эпистемическая .

Понятие "алетическая" (от греч. aletheia – истина) означает "истинная". Алетическая модальность в этом смысле есть отношение к основному требованию логики – выражать критерии истинных и ложных высказываний.

Алетическая модальность есть выраженная в суждениях и терминах необходимости-случайности либо возможности-невозможности информация об особенностях логической или фактической детерминированности сужде­ний.

Утверждение необходимости существования чего-либо , как соответствие действительности , обозначается символически как  p .

Аналогично, утверждение необходимости несуществования чего-либо , как отрицательное соответствие действительности , обозначается - ÿ ùp .

Пример:

«Наличие причинной связи между действиями, совершенными данным лицом, и наступившими общественно-опасными последствиями (p ) – непременное условие привлечения его к уголовной ответственности (q )».

ÿ(p ® q ).

В противоположность "необходимости", "случайность" не связана с неизбежностью , а фиксирует лишь частные события в их произвольном возникновении и существовании.

Пример:

p ) иногда способствует возникновению сердечно-сосудистых заболе­ваний (q )».

В терминах алетической модальности данное высказывание выглядит так:

ù ÿ(p ® q ).

Что касается "возможности" чего-либо , то она всегда связана с со­вместимостью рассматриваемого явления с другими явлениями , состав­ляющими для данного явления среду его существования .

Пример:

«Загрязнение окружающей среды (p ) может способствовать возникновению сердечно-сосудистых и легочных заболеваний (q )».

В терминах алетической модальности данное высказывание выглядит так:

à(p ® q ).

В свою очередь, "невозможность" чего-либо всегда связана с не­совместимостью данного явления с другими, являющимися для него его средой .

Хотя операции над ними очень важны и встречаются повсеместно, сами по себе они ещё не составляют рассуждений. В этом уроке мы как раз приблизимся к теме того, как правильно рассуждать. Мы будем рассматривать рассуждения на примере силлогистики. Силлогистика - это самая древняя логическая система. Она была изобретена древнегреческим философом Аристотелем в IVвеке до н.э. До сих пор она остаётся одной из самых понятных, приближенных к естественному языку и лёгких для изучения логических систем. Одно их главных её достоинств - возможность применения в повседневных ситуациях без особых усилий.

Суждения и высказывания

Что такое рассуждение? Можно было бы сказать: вывод, умозаключение, размышление, доказательство и т.д. Всё это верно, но, пожалуй, самым очевидным ответом было бы: рассуждение - это последовательность суждений, которые в идеале должны быть связаны между собой согласно правилам логики. Поэтому обучение правильному рассуждению нужно начинать с того, что такое суждения и как ими корректно пользоваться.

Суждение - это мысль об утверждении или отрицании наличия некоторой ситуации в мире.

В естественном языке суждения передаются с помощью повествовательных предложений, или высказываний. Примеры суждений, выраженных в высказываниях: «Пришла осень», «Катя не знает английского языка», «Я люблю читать», «Трава зелёная, а небо голубое». Одно и то же суждение может быть выражено с помощь разных высказываний, в частности: «Небо голубое» и «Theskyisblue» - разные высказывания, но суждение они выражают одно и то же, так как они передают одну и ту же мысль. Точно также высказывания «Никто не покидал дома» и «Все оставались дома» разные, но они передают одно суждение.

Поскольку высказывания посредством суждений фиксируют какое-то положение дел в мире, в отличие от понятий и определений, мы можем оценивать их с точки зрения их истинности и ложности. Так высказывание «Бил Гейтс основал компанию “Microsoft”» - истинное, а высказывание «Апельсины фиолетовые» - ложное.

Рисунки последовательно представляют отношения: пересечения, дополнительности, подчинения, равнообъёмности и обратного подчинения. С первыми тремя картинками всё должно быть довольно ясно: видно, что объёмы терминов S и P пересекаются, поэтому в области пересечения находятся элементы, которые одновременно обладают и признаком S и признаком P. Примеры истинных высказываний таких типов: «Некоторые актёры хорошо поют», «Некоторые автомобили с ценой ниже миллиона стоят больше шестисот тысяч», «Некоторые грибы съедобны».

Что касается отношений равнообъёмности и обратного подчинения, то может возникнуть вопрос, почему они тоже представляют собой условия истинности для частноутвердительных высказываний, если на картинках, обозначающих их, чётко видно, что не только некоторые S есть P, но все S есть P. Правда, естественный язык толкает нас к идее, что если некоторые S есть P, то ещё существуют и другие S, которые не есть P: некоторые грибы съедобны, а некоторые несъедобны. Для логиков такое заключение неверно. Из высказывания «Некоторые S есть P» нельзя вывести заключение, что некоторые S не есть P. Зато из высказывания «Все S есть P» можно заключить, что и некоторые S есть P, потому что если что-то верно относительно всех элементов объёма термина, то оно будет верно и относительно некоторых отдельных элементов. Поэтому в силлогистике слово «некоторые» употребляется в значении «по крайней мере некоторые», но не в значении «только некоторые». Таким образом, из высказывания «Все папоротники размножаются спорами» можно смело вывести и высказывание «Некоторые папоротники размножаются спорами», а из высказывания «Все ученики пятого класса являются пионерами» - высказывание «Некоторые ученики пятого класса являются пионерами».

Частноутвердительные высказывания будут ложными, только если термины S и P находятся в отношении противоречия или соподчинения: «Некоторые тракторы - это самолёты», «Некоторые ложные высказывания истинны».

Типа «Некоторые S не есть P» истинны, если термины S и P находятся в следующих :

Это отношения: пересечения, дополнительности, включения, противоречия и соподчинения. Очевидно, что первые три отношения совпадают с тем, что было верно и для частноутвердительных высказываний. Все они как раз представляют случаи, когда некоторые S есть P, и в то же время некоторые S не есть P. Примеры подобных истинных высказываний: «Некоторые здоровые люди не употребляют алкоголь», «Некоторые наши работники из категории младше сорока ещё не достигли возраста и двадцати пяти», «Некоторые деревья не являются вечнозелёными».

По тем же причинам, по которым отношения равнообъёмности и обратного подчинения представляли собой условия истинности для частноутвердительных высказываний, отношения противоречия и соподчинения будут верны для частноотрицательных высказываний. Из высказывания, имеющего форму «Некоторые S не есть P» нельзя логично вывести высказывание «Некоторые S есть P». Однако из высказывания «Все S не есть P» можно перейти к высказыванию «Некоторые S не есть P», так как на основании информации, которой мы обладаем обо всех элементах объёмов терминов S и P, можно сделать вывод и об их отдельных представителях. Поэтому верными будут высказывания: «Некоторые журналы не являются книгами», «Некоторые глупцы не являются умными» и т.п.

Частноотрицательные высказывания будут ложными, только если термины S и P находятся в отношениях равнообъёмности и обратного подчинения. Примеры ложных высказываний: «Некоторые рыбы не умеют дышать под водой», «Некоторые яблоки не являются фруктами».

Итак, мы выяснили, при каких условиях высказывания той или иной формы будут истинными и ложными. При этом стало понятно, что не всегда истинность и ложность высказываний с логической точки зрения совпадает с нашими интуитивными представлениями. Иногда одинаковые на первый взгляд высказывания оцениваются совершенно по-разному, так как за ними скрываются разные логические формы и, следовательно, разные отношения между входящими в них терминами. Эти условия истинности важно запомнить. Они пригодятся, когда в следующем уроке мы научимся складывать высказывания в цепочки рассуждений и будем пытаться найти такие формы умозаключений, которые будут всегда правильными.

Игра "Пересечение множеств"

В этом упражнении вам нужно внимательно прочитать текст задания и правильно расположить множества, соответствующие понятиям.

Упражнения

Прочитайте следующие категориальные атрибутивные высказывания. Определите, к какому типу они относятся. С помощью диаграмм покажите, истинны они или ложны.

• Всё действительное разумно, всё разумное действительно.
• Соль - это яд.
• Яд - это соль.
• Все музыканты имеют хороший слух.
• Некоторые музыканты имеют хороший слух.
• Все люди, имеющие хороший слух, - музыканты.
• Некоторые люди, имеющие хороший слух, - музыканты.
• Некоторые вампиры опоздали на работу.
• Волколаки - это разновидность оборотней.
• Все круглые квадраты не имеют углов.
• Никто не любит, когда у него болят зубы.
• Ни один попугайчик не пьёт виски.
• Некоторым не нравится их работа.
• Иван Иванович поссорился с Иваном Никифоровичем.
• Фильмы Тарковского считаются классикой русского кино.
• Достоевский никогда не играл в карты.
• Некоторые куздры совсем не глокие.
• Каждый сотрудник мечтает о повышении.
• Некоторые псы умеют читать.
• Все счастливые семьи похожи друг на друга, каждая несчастливая семья несчастлива по-своему.
• Некоторые акулы - это рыбы.
• Некоторые люди не летали на Марс.

Проверьте свои знания

Если вы хотите проверить свои знания по теме данного урока, можете пройти небольшой тест, состоящий из нескольких вопросов. В каждом вопросе правильным может быть только 1 вариант. После выбора вами одного из вариантов, система автоматически переходит к следующему вопросу. На получаемые вами баллы влияет правильность ваших ответов и затраченное на прохождение время. Обратите внимание, что вопросы каждый раз разные, а варианты перемешиваются.