Для вычисления квадратного корня без калькулятора существует несколько методов.

Как найти корень из числа – 1 способ

• Один из методов заключается в разложении на множители того числа, которое находится под корнем. Эти составляющие в результате умножения образуют подкоренное значение. Точность полученного результата зависит от числа под корнем.
• Например, если взять число 1 600 и начать раскладывать его на множители, то рассуждение построится таким образом: данное число кратно 100, значит, его можно разделить на 25; так как корень из числа 25 извлекается, то число является квадратным и подходит для дальнейших вычислений; при делении получаем еще одно число – 64. Это число тоже квадратное, поэтому корень извлекается хорошо; после этих расчетов под корнем можно записать число 1600 в виде произведения 25 и 64.

• Одно из правил извлечения корня гласит, что корень из произведения множителей равен числу, которое получается при умножении корней из каждого множителя. Это значит, что: √(25*64) = √25 * √64. Если из 25 и 64 извлечь корни, то получим такое выражение: 5 * 8 = 40. То есть, квадратный корень из числа 1600 равен 40.
• Но бывает так, что число, находящееся под корнем, не раскладывается на два множителя, из которых извлекается целый корень. Обычно такое можно осуществить только для одного из множителей. Поэтому чаще всего найти абсолютно точный ответ в таком уравнении не получается.
• В таком случае можно высчитать только приблизительное значение. Поэтому нужно извлечь корень из множителя, который является квадратным числом. Это значение затем умножить на корень из второго числа, которое не является квадратным членом уравнения.
• Выглядит это таким образом, например, возьмем число 320. Его можно разложить на 64 и 5. Из 64 целый корень извлечь можно, а из 5 – нет. Поэтому, выражение будет выглядеть так: √320 = √(64*5) = √64*√5 = 8√5.
• Если есть необходимость, то можно найти приблизительное значение этого результата, вычислив
  √5 ≈ 2,236, следовательно, √320 = 8 * 2,236 = 17,88 ≈ 18.
• Также число под корнем можно разложить на несколько простых множителей, а одинаковые можно вынести из-под него. Пример: √75 = √(5*5*3) = 5√3 ≈ 8,66 ≈ 9.

Как найти корень из числа – 2 способ

• Другой способ заключается в делении в столбик. Деление происходит аналогично, но только искать нужно квадратные числа, из которых потом извлекать корень.
• В этом случае квадратное число пишем сверху и отнимаем его в левой части, а извлеченный корень снизу.
• Теперь второе значение нужно удвоить и записать снизу справа в виде: число_х_=. Пропуски необходимо заполнить числом, которое будет меньше или равно необходимому значению слева – все как в обычном делении.
• При необходимости этот результат снова вычитается слева. Такие вычисления продолжаются до тех пор, пока результат не будет достигнут. Нули также можно добавлять, пока не получите нужное количество знаков после запятой.

Корнем n -ой степени натурального числа a называется такое число, n -ая степень которого равна a . Корень обозначается так: . Символ √ называется знаком корня или знаком радикала , число a - подкоренное число , n - показатель корня .

Действие, посредством которого находится корень данной степени, называется извлечением корня .

Так как, согласно определению понятия о корне n -ой степени

то извлечение корня - действие, обратное возведению в степень , при помощи которого по данной степени и по данному показателю степени находят основание степени.

Квадратный корень

Квадратным корнем из числа a называется число, квадрат которого равен a .

Действие, с помощью которого вычисляется квадратный корень, называется извлечением квадратного корня.

Извлечение квадратного корня - действие обратное возведению в квадрат (или возведению числа во вторую степень). При возведении в квадрат известно число, требуется найти его квадрат. При извлечении квадратного корня известен квадрат числа, требуется по нему найти само число.

Поэтому для проверки правильности проведённого действия, можно найденный корень возвести во вторую степень и, если степень будет равна подкоренному числу, значит корень был найден правильно.

Рассмотрим извлечение квадратного корня и его проверку на примере. Вычислим или (показатель корня со значением 2 обычно не пишут, так как 2 - это самый маленький показатель и следует помнить, что если над знаком корня нет показателя, то подразумевается показатель 2), для этого нам нужно найти число, при возведении которого во вторую степень получится 49. Очевидно, что таким числом является 7, так как

7 · 7 = 7 2 = 49.

Вычисление квадратного корня

Если данное число равно 100 или меньше, то квадратный корень из него можно вычислить с помощью таблицы умножения . Например квадратный корень из 25 - это 5, потому что 5 · 5 = 25.

Теперь рассмотрим способ нахождения квадратного корня из любого числа без использования калькулятора. Для примера возьмём число 4489 и начнём поэтапно вычислять.

1. Определим, из каких разрядов должен состоять искомый корень. Так как 10 2 = 10 · 10 = 100, а 100 2 = 100 · 100 = 10000, то становится ясно, что искомый корень должен быть больше 10 и меньше 100, т.е. состоять из десятков и единиц.
2. Находим число десятков корня. От перемножения десятков получаются сотни, в нашем числе их 44, поэтому корень должен содержать столько десятков, чтобы квадрат десятков давал приблизительно 44 сотни. Следовательно в корне должно быть 6 десятков, потому что 60 2 = 3600, а 70 2 = 4900 (это слишком много). Таким образом мы выяснили, что наш корень содержит 6 десятков и несколько единиц, так как он находится в в диапазоне от 60 до 70.
3. Определить число единиц в корне поможет таблица умножения. Посмотрев на число 4489, мы видим, что последняя цифра в нём 9. Теперь смотрим в таблицу умножения и видим что 9 единиц может получится только при возведении в квадрат чисел 3 и 7. Значит корень числа будет равен 63 или 67.
4. Проверяем полученные нами числа 63 и 67 возводя их в квадрат: 63 2 = 3969, 67 2 = 4489.

Ученики всегда спрашивают: «Почему нельзя пользоваться калькулятором на экзамене по математике? Как извлечь корень квадратный из числа без калькулятора?» Попробуем ответить на этот вопрос.

Как же извлечь корень квадратный из числа без помощи калькулятора?

Действие извлечения корня квадратного обратно действию возведения в квадрат.

√81= 9 9 2 =81

Если из положительного числа извлечь корень квадратный и результат возвести в квадрат, получим то же число.

Из небольших чисел, являющихся точными квадратами натуральных чисел, например 1, 4, 9, 16, 25, …,100 квадратные корни можно извлечь устно. Обычно в школе учат таблицу квадратов натуральных чисел до двадцати. Зная эту таблицу легко извлечь корни квадратные из чисел 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Из чисел больших 400 можно извлекать методом подбора используя, некоторые подсказки. Давайте попробуем на примере рассмотреть этот метод.

Пример: Извлечь корень из числа 676 .

Замечаем, что 20 2 = 400, а 30 2 = 900, значит 20 < √676 < 900.

Точные квадраты натуральных чисел оканчиваются цифрами 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Цифру 6 дают 4 2 и 6 2 .
Значит, если из 676 извлекается корень, то это либо 24, либо 26.

Осталось проверить: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Ответ: √676 = 26 .

Еще пример: √6889 .

Так как 80 2 = 6400, а 90 2 = 8100, то 80 < √6889 < 90.
Цифру 9 дают 3 2 и 7 2 , то √6889 равен либо 83, либо 87.

Проверяем: 83 2 = 6889.

Ответ: √6889 = 83 .

Если затрудняетесь решать методом подбора, то можно подкоренное выражение разложить на множители.

Например, найти √893025 .

Разложим число 893025 на множители, вспомните, вы делали это в шестом классе.

Получаем: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Еще пример: √20736 . Разложим число 20736 на множители:

Получаем √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Конечно, разложение на множители требует знания признаков делимости и навыков разложения на множители.

И, наконец, есть же правило извлечение корней квадратных . Давайте познакомимся с этим правилом на примерах.

Вычислите √279841 .

Чтобы извлечь корень из многоцифрового целого числа, разбиваем его справа налево на грани, содержащие по 2 цифры (в левой крайней грани может оказаться и одна цифра). Записываем так 27’98’41

Чтобы получить первую цифру корня (5), извлекаем квадратный корень из наибольшего точного квадрата, содержащегося в первой слева грани (27).
Потом вычитают из первой грани квадрат первой цифры корня (25) и к разности приписывают (сносят) следующую грань (98).
Слева от полученного числа 298 пишут удвоенную цифру корня (10), делят на нее число всех десятков раннее полученного числа (29/2 ≈ 2), испытывают частное (102 ∙2 = 204 должно быть не больше 298) и записывают (2) после первой цифры корня.
Потом вычитают от 298 полученное частное 204 и к разности (94) приписывают (сносят) следующую грань (41).
Слева от полученного числа 9441 пишут удвоенное произведение цифр корня (52 ∙2 = 104), делят на это произведение число всех десятков числа 9441 (944/104 ≈ 9), испытывают частное (1049 ∙9 = 9441) должно быть 9441 и записывают его (9) после второй цифры корня.

Получили ответ √279841 = 529.

Аналогично извлекают корни из десятичных дробей . Только подкоренное число надо разбивать на грани так, чтобы запятая была между гранями.

Пример . Найдите значение √0,00956484.

Только надо помнить, что если десятичная дробь имеет нечетное число десятичных знаков, из нее точно квадратный корень не извлекается .

Итак, теперь вы познакомились с тремя способами извлечения корня. Выбирайте тот, который вам больше подходит и практикуйтесь. Чтобы научиться решать задачи, их надо решать. А если у Вас возникнут вопросы, записывайтесь на мои уроки .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Извлечение корня из большого числа. Дорогие друзья! В этой статье мы с вами разберём как извлекать корень из большого числа без калькулятора. Это необходимо не только для решения некоторых типов задач ЕГЭ (есть такие — на движение), но и для общего математического развития этот аналитический приём знать желательно.

Казалось бы, всё просто: разложи на множители, да извлекай. Проблемы нет. Например число 291600 при разложении даст произведение:

Вычисляем:

Есть одно НО! Способ хорош если легко определяются делители 2, 3, 4 и так далее. А что делать если число, из которого мы извлекаем корень является произведением простых чисел? Например 152881 является произведением чисел 17, 17, 23, 23. Попробуй-ка сходу найди эти делители.

Суть рассматриваемого нами метода - это чистый анализ. Корень при наработанном навыке находится быстро. Если навык не отработан, а просто понят подход, то немного медленнее, но всё же определяется.

Извлечём корень из 190969.

Сначала определим — между какими числами (кратными ста) лежит наш результат.

Очевидно, что результат корня из данного числа лежит в пределах от 400 до 500, так как

400 2 =160000 и 500 2 =250000

Действительно:

посредине, ближе к 160 000 или к 250 000?

Число 190969 находится примерно посредине, но все же ближе к 160000. Можно сделать вывод, что результат нашего корня будет меньше 450. Проверим:

Действительно, он меньше 450, так как 190 969 < 202 500.

Теперь проверим число 440:

Значит наш результат меньше 440, так как 190 969 < 193 600.

Проверяем число 430:

Мы установили, что результат данного корня лежит в пределах от 430 до 440.

Произведение чисел имеющих на конце 1 или 9 дают число с 1 в конце. Например, 21 на 21 равно 441.

Произведение чисел имеющих на конце 2 или 8 дают число с 4 в конце. Например, 18 на 18 равно 324.

Произведение чисел имеющих на конце 5 дают число с 5 в конце. Например, 25 на 25 равно 625.

Произведение чисел имеющих на конце 4 или 6 дают число с 6 в конце. Например 26 на 26 равно 676.

Произведение чисел имеющих на конце 3 или 7 дают число с 9 в конце. Например, 17 на 17 равно 289.

Так как число 190969 заканчивается цифрой 9, то это произведение либо числа 433, либо 437.

*Только они при возведении в квадрат могут дать 9 в конце.

Проверяем:

Значит результат корня будет равен 437.

То есть, мы как бы «нащупали» верный ответ.

Как видите, максимум что потребуется это осуществить 5 действий столбиком. Возможно, вы сразу попадёте в точку, или сделаете всего три действия. Всё зависит о того, как точно вы сделаете начальную оценку числа.

Извлеките самостоятельно корень из 148996

Такой дискриминант получается в задаче:

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 336 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 48 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Посмотреть решение

Результат корня находится между числами 300 и 400:

300 2 =90000 400 2 =160000

Действительно, 90000<148996<160000.

Суть дальнейших рассуждений сводится к тому, чтобы определить, как число 148996 расположено (отстоит) относительно этих чисел.

Вычислим разности 148996 - 90000=58996 и 160000 - 148996=11004.

Получается, что 148996 близко (на много ближе) к 160000. Поэтому, результат корня однозначно будет больше 350 и даже 360.

Можем сделать вывод, что наш результат больше 370. Далее ясно: так как 148996 оканчивается цифрой 6, то это означает, что в квадрат надо возводить число, оканчивающееся либо на 4, либо на 6. *Только эти числа при возведении в квадрат дают в конце 6.

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.