В играх с ненулевой суммой в выигрыше или проигрыше могут оказаться все участники игры. Биматричная игра – это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой. В этом случае для каждой игровой ситуации A i B j каждый из игроков имеет свой выигрыш a ij для первого игрока и b ij – для второго игрока. К биматричной игре сводится, например, поведение производителей на рынках несовершенной конкуренции. С помощью онлайн-калькулятора можно найти решение биматричной игры , а также ситуации оптимальные по Парето и ситуации устойчивые по Нэшу .

Рассмотрим конфликтную ситуацию, в которой каждый из двух участников имеет следующие возможности для выбора своей линии поведения:

• игрок А – может выбрать любую из стратегий А 1 ,…,А m ,
• игрок В – любую из стратегий В 1 ,…,В n .

При этом их совместный выбор оценивается вполне определённо: если игрок А выбрал i-ю стратегию А i , а игрок В – k -ю стратегию В k , то в итоге выигрыш игрока А будет равен некоторому числу a ik , а выигрыш игрока В некоторому, вообще говоря, другому числу b ik .
Последовательно перебирая все стратегии игрока А и все стратегии игрока В, мы сможем заполнить их выигрышами две таблицы.

Первая из таблиц описывает выигрыш игрока А, а вторая – выигрыш игрока В. Обычно эти таблицы записывают в виде матрицы.
Здесь А – платёжная матрица игрока А, В – платёжная матрица игрока В.

Таким образом, в случае, когда интересы игроков различны (но не обязательно противоположны) получаются две платёжные матрицы: одна – матрица выплат игроку А, другая – матрица выплат игроку В. Поэтому совершенно естественно звучит название, которое обычно присваивается подобной игре – биматричная .

Равновесие Нэша – равновесие, когда каждый участник игры выбирает стратегию, которая является для него оптимальной при условии, что остальные участники игры придерживаются определенной стратегии.
Равновесие Нэша не всегда является наиболее оптимальным для участников. В этом случае говорят, что равновесие не является Парето-оптимальным .
Чистая стратегия – определенная реакция игрока на возможные варианты поведения других игроков.
Смешанная стратегия – вероятностная (не определенная точно) реакция игрока на поведение других игроков.

Пример №1 . Борьба за рынки сбыта.
Фирма а намерена сбыть партию товара на одном из двух рынков, контролируемых более крупной фирмой b . С этой целью она проводит подготовительную работу, связанную с определенными затратами. Если фирма b разгадает, на каком из рынков фирма а будет продавать свой товар, она примет контрмеры и воспрепятствует "захвату" рынка (этот вариант означает поражение фирмы а); если нет, то фирма а одерживает победу. Предположим, что для фирмы а проникновение на первый рынок более выгодно, чем проникновение на второй, но и борьба на первом рынке требует от нее больших средств. Например, победа фирмы а на первом рынке приносит ей вдвое большую прибыль, чем победа на втором, но зато поражение на первом рынке полностью ее разоряет.
Составим математическую модель этого конфликта, считая фирму а игроком 1 и фирму b игроком 2. Стратегии игрока 1: А 1 – проникновение на рынок 1, А 2 – проникновение на рынок 2; стратегии игрока 2: В 1 – контрмеры на рынке 1, В 2 – контрмеры на рынке 2. Пусть для фирмы а ее победа на 1-м рынке оценивается в 2 единицы, а победа на 2-м рынке – в 1 единицу; поражение фирмы а на 1-м рынке оценивается в -10, а на 2-м в -1. Для фирмы b ее победа составляет соответственно 5 и 1 единицу, а поражение -2 и -1. Получаем в итоге биматричную игру Г с матрицами выигрышей
.
По теореме эта игра может иметь либо чистые, либо вполне смешанные ситуации равновесия. Ситуаций равновесия в чистых стратегиях здесь нет. Убедимся теперь, что данная игра имеет вполне смешанную ситуацию равновесия. Находим , .
Итак, рассматриваемая игра имеет единственную ситуацию равновесия , где , . Она может быть реализована при многократном повторении игры (то есть при многократном воспроизведении описанной ситуации) следующим образом: фирма а должна использовать чистые стратегии 1 и 2 с частотами 2/9 и 7/9, а фирма b – чистые стратегии 1 и 2 с частотами 3/14 и 11/14. Любая из фирм, отклонившись от указанной смешанной стратегии, уменьшает свой ожидаемый выигрыш.

Пример №2 . Найти ситуации оптимальные по Парето и ситуации устойчивые по Нэшу для биматричной игры.

Пример №3 . Имеются 2 фирмы: первая может произвести одно из двух изделий А 1 и А 2 , вторая – одно из двух изделий B 1 , B 2 . Если первая фирма произведет продукцию A i (i = 1, 2), а вторая - B j (j = 1, 2), то прибыль этих фирм (зависящая от того, являются ли эти изделия взаимодополняющими или конкурирующими), определяется таблицей №1:

	В 1	В 2
А 1	(5, 6)	(3, 2)
А 2	(2, 1)	(5, 3)

Считая, что фирмы заключают между собой соглашение, определить справедливое распределение прибыли, используя арбитражное решение Нэша.

Ученые вот уже почти шестьдесят лет используют теорию игр для расширения анализа стратегических решений, которые принимают фирмы, в частности для того, чтобы ответить на вопрос: почему на некоторых рынках фирмы стремятся сговориться, тогда как на других агрессивно конкурируют; использующие фирмы, чтобы не допустить вторжения потенциальных конкурентов; как должны приниматься решения о цене, когда меняются условия спроса или издержек или когда новые конкуренты вторгаются на рынок и т.

Первыми провели исследование в области теории игр Дж.-Ф. Нейман и О. Моргенштерн и описали результаты в книге "Теория игр и экономическое поведение" (1944). Они распространили математические категории этой теории на экономическую жизнь общества, введя понятие оптимальных стратегий, максимизации ожидаемой полезности, доминирование в игре (на рийку), коалиционных соглашений и тому подобное.

Ученые стремились сформулировать основополагающие критерии рационального поведения участника на рынке с целью достижения благоприятных результатов. Они различали две основные категории игр. Первая - "игра с нулевой суммой", предусматривающий такой выигрыш, который состоит исключительно из проигрыша других игроков. В связи с этим пользу одних непременно должна образовываться за счет потерь других игроков, так что общая сумма пользы и потерь всегда равна нулю. Вторая категория - "игра с плюсовой суммой", когда индивидуальные игроки соревнуются за выигрыш, состоящий из их же ставок. Иногда он образуется за счет наличия "выходного" (термин из карточной игры в бридж, который означает одного из игроков, который, делая ставку, не участвует в игре), совсем пассивного и часто является служащим объектом эксплуатации. В обоих случаях игра неизбежно сопряжена с риском, поскольку каждый из ее участников, как считали исследователи, "стремится максимально повысить функцию, переменные которой ним не контролируются". Если все игроки являются умелыми, то решающим фактором становится случайность. Но так бывает редко. Почти всегда важную роль в игре играет хитрость, с помощью которой делаются попытки раскрыть замыслы противников и завуалировать свои намерения, а затем занять выгодные позиции, которые заставили бы этих противников действовать в ущерб самим себе. Многое зависит и от "контрхитрости".

Большое значение во время игры имеет рациональное поведение игрока, т.е. продуманные выбор и осуществление оптимальной стратегии. Важный вклад в разработку формализованного (в виде моделей) описания конфликтных ситуаций, особенно в определении "формулы равновесия", т.е. устойчивости решений противников в игре, внес американский ученый Дж.-Ф. Нэш.

Нэш Джон Форбс родился в 1928 г.. (Г.. Влуефилд, США). Учился в университете Карнеги-Меллона по специальности инженера-химика, освоил курс "международная экономика". Получил диплом бакалавра и одновременно магистра математики.

В 1950 г.. В ИИриястонському университете защитил докторскую диссертацию на тему "некооперативных игры". Начиная с 1951г. И на протяжении почти восьми лет Нэш работал преподавателем Массачусетского технологического института, проводя одновременно активную научно-исследовательскую деятельность.

С весны 1959 ученый заболел и потерял работоспособность. В 70-е годы он смог вернуться к своим математических увлечений, однако производить научные результаты ему было трудно. Нобелевский комитет в 1994 фактически наградил труд, написанная в 1949

Член Национальной академии наук США, Бконометричного общества и Американской академии искусств и академии наук.

Досконально изучив различные игры, создав серию новых математических игр и наблюдая за действиями участников в различных игровых ситуациях, Нэш пытался глубже понять, как функционирует рынок, как компании принимают связаны с риском решения, почему покупатели действуют именно определенным образом. В экономике, как и в игре, руководители фирм должны учитывать не только последний, но и предыдущие шаги конкурентов, а также обстановку на всем экономическом (игровом, например, шахматном) поле и многие другие важные факторы.

Субъекты экономической жизни - активно действующие его участники, которые на рынке в условиях конкуренции идут на риск, и он должен быть оправдан. Поэтому каждый из них, как игрок, должен иметь свою стратегию. Именно это имел в виду Нэш, когда разрабатывал метод, который впоследствии назвали его именем (равновесие Нэша).

Свое понимание стратегии как основного понятия теории игр Дж.-Ф. Нэш разъясняет на основе "игры с нулевой суммой" (он называет это "симметричной игрой"), когда каждый участник имеет определенное число стратегий. Выигрыш каждого игрока зависит от того, какие стратегии выбрал и он, и его противник. На основании этого строится матрица для нахождения оптимальной стратегии, которая за многократного повторения игры обеспечивает этому игроку максимально возможный средний выигрыш (или максимально возможный средний проигрыш). Поскольку игроку неизвестно, какую стратегию выберет противник, ему самому лучше (рационально) выбрать стратегию, которая рассчитана на худшую для него поведение противнике (принцип так называемого "гарантированного результата"). Действуя осторожно и считая противника сильным конкурентом, наш игрок выберет для каждой своей стратегии минимально возможный выигрыш. Затем из всех минимально выигрышных стратегий он выберет такую, которая обеспечит максимальный из всех минимальных выигрыш - максимин.

Но и противник, вероятно, подумает аналогично. Он найдет для себя наибольшие проигрыши во всех стратегиях игрока, а затем из этих максимальных проигрышей выберет минимальный - минимакс. В случае равенства максимина мини Максу решения игроков будут устойчивыми, а игра будет иметь равновесие. Устойчивость (равновесие) решений (стратегий) состоит в том, что отходить от выбранных стратегий будет невыгодно для обоих участников игры. В случае, когда максимин не равна минимакса, решения (стратегии) обоих игроков, если они сколько-нибудь угадали выбор стратегии противника, оказываются неустойчивыми, невривно-важен.

Общее краткое определение равновесия Нэша - результат, в котором стратегия каждого из игроков является лучшей среди других, принятых остальными участниками игры стратегий. Это определение основывается на том, что ни один из игроков изменением собственной роли не может достичь наибольшей пользы (максимизации функции полезности), если остальные участники твердо придерживаются своей линии поведения.

Свою формулу равновесия Дж.-Ф. Нэш многократно усилил, включив в нее как незаменимый фактор для выработки стратегий показатель оптимального объема информации. Этот показатель оптимальности он вывел из анализа ситуаций (1) с полным информированием игрока о своих противников и (2) с неполным информированием о них. Переведя этот постулат с математического языка на язык экономической, Нэш ввел неуправляемые переменные рыночных отношений как важный информационный элемент знания условий внешней среды. После этого равновесие Нэша стала методом, используется практически во всех отраслях экономической науки для лучшего понимания сложных взаимосвязей, - отметил в октябре 1994 во время объявления новых лауреатов Нобелевской премии по экономике А. Линдбек, член Шведской королевской академии и председатель Нобелевского комитета по экономике.

Применение равновесия Нэша стало важным шагом в микроэкономике. ее использование способствовало углубленному пониманию развития и функционирования рынков, обоснованию стратегических решений, принимаемых менеджерами различных фирм. Равновесием Нэша можно пользоваться при изучении процесса ведения политических переговоров и экономического поведения, в том числе на олигополистических рынках.

По пионерной анализ равновесия в некооперативных играх Нобелевская премия по экономике 1994 года было присуждена Дж.-Ф. Нэш в, Р. Селтену и Дж. Харшани. Начиная с классического труда Дж. Неймана и О. Моргенштер-на "Теория игр и экономическое поведение", неотъемлемой частью экономического анализа стало исследование стратегии взаимодействия экономических субъектов в условиях, когда для выработки собственной линии поведения необходимо учитывать действия другого суб " объекта (как это происходит, в частности, в шахматах, преферансе и других играх). Эти трое Нобелевских лауреатов внесли большой вклад в ответвление теории игр - теорию некооперативных игр (то есть игр, когда достигнута договоренность между участниками). Принципиальным моментом этой теории является концепция равновесия, используется для предсказания результатов взаимодействия.

Равновесие Нэша стала фундаментальным понятием теории игр.

Анализ дискретного выбора

К последней четверти ХХ в. доминировало мнение, что основную роль в поведении потребителей играют здравый смысл и расчет. Именно с учетом прежде всего здравого смысла потребителей сформулированы либеральные экономические теории. Экономисты этого научного направления считают, что рынок как система отношений между экономическими субъектами способен саморегулироваться и устанавливать справедливые цены на товары и услуги на основе здравого смысла.

Хотя либеральная экономическая школа дала миру больше научных достижений, чем конкурентная консервативна, однако ее теории имеют ограниченное применение, что признают и ее сторонники. Например, монетарнсты (они же либералы) пока не сумели аргументированно объяснить поведение инвесторов на международных финансовых рынках и огромные колебания цен на мировые сырьевые ресурсы.

Либеральный рыночный подход оказался слишком упрощенным для надежного прогнозирования потребительского спроса на услуги и товары в условиях, когда потребители имеют огромный выбор подобных товаров и при этом не ограничены в объемах закупок, поскольку сейчас в развитых странах чрезвычайно распространен потребительский кредит. Кроме того, либеральная теория не может объяснить, например, покупку американской семьей (или английском семьей) американского (или английского) автомобиля, в то время как корейский стоит дешевле. То есть эта теория не принимает во внимание национальные и другие особенности поведения потребителей, которые с точки зрения здравого смысла трудно объяснить.

Поэтому в последнее время ученые-екоярмисты все чаще говорят о появлении новой экономической теории, сложившейся непосредственно на основе данных о поведении потребителей, которую надо изучать с помощью статистических методов. Эта теория предлагает описание способа измерения полезности. Несмотря на то, что подобные оценки носят субъективный характер, именно субъективность определяет их ценность для реализации экономической политики. Многие экономисты даже прогнозируют, что именно теория поведения потребителей (известный автор - Д. - Л. Мак-Федден) будет в XXI в. основой для определения экономической и политической стратегии развитых государств.

Мак-Федден ДаниельЛитл родился в 1937г. (г.. Ралейг, штатГОвн.Каролина, США). Учился и работал в Миннесотского университете. В 1962 г.. Защитил докторскую диссертацию, работал ассистентом профессора экономики в Питсбургском университете, затем профессором экономики в Калифорнийском университете, где с 1991 г.. Руководит эконометрической лабораторией.

Опубликовал в соавторстве такие труды: "Очерки об экономическом поведении в условиях нестабильности" (1974), "Спрос на городское передвижения: поведенческий анализ" (1976), "Экономика производства: двойной подход к теории и практики" (1978), "Структурный анализ дискретных данных с економетричяимы приложениями "(1981)," Мик-роекономичне моделирования и численный анализ: исследование спроса в коммунальном хозяйстве "(1984)," Справочник по эконометрики "(т.4,1994), а также много научных статей.

В течение 1983-1984 гг. Был вице-президентом, а в 1985 г.. - Президентом Эконометрического общества. У1994 г.. Избирался вице-президентом Американской экономической ассоциации. Член Национальной академии наук США, Американских эконометрического общества и академий искусств и наук, Американская экономическая ассоциация наградила его медалью Дж.-Б. Кларка, Эконометрическое общество - медалью Р. Фриша.

Известно, что довольно часто микроданные отражают дискретные выборы - выборы среди конечного множества альтернативных решений. В экономической теории традиционный анализ спроса предусматривал, что индивидуальный выбор должен быть представлен непрерывной переменной, но такая трактовка не соответствует изучению поведения дискретного выбора. Предыдущими достижениями многих ученых эмпирические исследования таких выборов не были обоснованными в экономической теории.

Методология анализа дискретного выбора Д.-л. Мак-Феддена коренится в микроэкономической теории, согласно которой каждый индивид выбирает определенную альтернативу, которая максимизирует его полезность. Функции полезности - это способы описания потребительского выбора: если выбран набор услуг X при том, что набор услуг В доступен, то X должен иметь большую полезность, чем В. Изучая выбор, сделанный потребителями, можно вывести оценочную функцию полезности, адекватно описывала бы их поведение. Очевидно, что невозможно исследовать весь комплекс фактов влияния на выбор индивида, но анализ динамики изменений среди личностей с примерно одинаковыми характеристиками позволяет сделать достаточно объективные выводы.

Д.-л. Мак-Федден в сотрудничестве с Т, Домеником изучил поведение потребителей относительно регулярных транспортных поиздок1. В большинстве крупных городов у лиц, осуществляющих регулярные транспортные поездки, есть выбор: пользоваться общественным транспортом или ездить на работу автомобилем. Каждую из этих альтернатив можно рассматривать как набор различных характеристик: время нахождения в пути, время ожидания, имеющихся расходов, комфорта, удобства и тому подобное. Таким образом, можно обозначить продолжительность времени нахождения в пути для каждого рода поездки через х {, продолжительность времени ожидания для каждого вида поездки через х 2 и т. Д.

Если (хх, х2, Хя) представляет значение п различных характеристик автомобильных поездок, а (y1, y2 ... .. y п) - значения характеристик поездок на автобусе, то можно рассмотреть модель, в которой потребитель принимает решение о том, поехать ему автомобилем или автобусом, исходя из предпочтения одного набора указанных характеристик другому. Конкретнее можно предположить, что преимущества среднего потребителя в отношении указанных характеристик могут быть представлены функцией полезности вида:

где коэффициенты b и, b 2 i т. Д - неизвестные параметры. Любое монотонное преобразование этой функции полезности может описать потребительский выбор, однако с точки зрения статистики работать с линейной функцией значительно легче.

Предположим, что существует группа похожих по характеристикам потребителей, которые выбирают, поехать автомобилем или автобусом, основываясь при этом на конкретных данных о продолжительности времени поездок, о расходах и другие характеристики поездок, с которыми они сталкиваются. В статистике есть технические приемы, которые можно использовать для поиска значений коэффициентов Д, при и - 1, п, наиболее подходящие для исследовательской структуры выбора, осуществленного данной множественностью потребителей. Эти технические приемы статистики позволяют вывести оценочную функцию полезности для различных способов транспортного передвижения.

Мак-Федден и Доменик предложили функцию полезности вида:

где ТW - общее время ходьбы до автобуса или автомобиля или от него; ТТ - общее время поездки в минутах; С - общая стоимость поездки в долларах.

С помощью оценочной функции полезности удалось правильно описать выбор между автомобильным и автобусным транспортом для 93% домохозяйств взятой авторами выборки. Коэффициенты при переменных в изложенном уравнении показывают предельную полезность каждой такой характеристики. Отношение одного коэффициента к другому показывает предельную норму замещения одной характеристики другой. Например, отношение предельной полезности времени ходьбы пешком к предельной полезности общей продолжительности поездки указывает не то, что рядовой потребитель считает время ходьбы пешком примерно в 3 раза медленнее, чем время поездки. То есть потребитель был бы готов затратить 3 дополнительных минуты на поездку, чтобы сэкономить 1 минуту ходьбы пешком. Аналогично отношение стоимости поездки в общей продолжительности поездки указывает на выбор рядового потребителя относительно этих двух переменных. В исследовании рядовой пассажир оценивал минуту времени поездки на транспорте в 0,0411 х х 2,24 = 0,0183 долл. за минуту, что составляет 1,10 долл. в час. (Для сравнения - часовая зарплата среднего пассажира в 1967 г.. Составляла в сена 2,85 долл. В час.)

Такие оценочные функции полезности могут быть ценными для определения того, следует осуществлять какие-то изменения в системе общественного транспорта. Например, в приведенной выше функции полезности одним из важных факторов, объясняющих, чем руководствуются потребители в своем выборе, является продолжительность поездки. Городское управление транспортом могло бы при небольших затратах увеличить количество автобусов, чтобы сократить эту общую продолжительность поездки, но необходимо выяснить дополнительное количество пассажиров оправдает рост затрат.

Оперируя функцией полезности и выборке потребителей, можно сделать прогноз относительно того, какие потребители захотят совершать поездки автомобилем, а какие предпочтут автобуса. Это позволит получить некоторое представление о том, будет ли выручка достаточной для покрытия дополнительных расходов. Кроме того, можно использовать предельную норму замещения для формирования представления об оценке каждым потребителем сокращения времени поездок. По результатам исследования Мак-Феддена и Доменика рядовой пассажир в 1967 оценивал время поездки по ставке 1,10 долл. в час, он готов был заплатить 37 центов, чтобы сократить время поездки на 20 минут. Это число показывает степень выигрыша в долларах от более своевременного предоставления автобусных услуг. Наличие количественной меры выигрыша, безусловно, способствует принятию рациональных решений в сфере транспортной политики.

Еще один весомый вклад Мак-Феддена - это развитие в 1974 так называемого анализа условного логит. Модель предполагает, что каждый человек в жизни находится перед рядом альтернатив. Обозначим как X характеристики, связанные с каждой альтернативой, и как 2 характеристики лиц, исследователь может наблюдать с помощью имеющихся данных. Например, для изучения выбора способа путешествий, где альтернативой может быть автомобиль, автобус или метро, X может включать информацию относительно времени и расходов, тогда как X мог бы включать данные относительно возраста, дохода и образования. Но различия между индивидами и альтернативы папке, как между Х \%, хотя они незаметны исследователю, но именно они определяют индивидуальный максимально полезный выбор. Такие характеристики представлены случайными векторами ошибок. Мак-Федден предположил, что эти случайные ошибки имеют определенную статистическую дистрибуцию (распределение) среди населения, назвав ее дистрибуцией экстремального значения. В этих условиях (плюс некоторые технические предсказания) он продемонстрировал, что вероятность того, что лицо и выберет альтернативу /, может быть записана в виде многочленов логит-модели:

где e - основание натурального логарифма; b и b - параметры (векторы). В своей базе данных исследователь может наблюдать переменные X и Z фактически так, как индивид выбирает альтернативу. В результате ученый способен оценить параметры р и <5, использовав известные статистические методы. Мак-Федденивське дифференцировки логит-модели осталось новацией и признается фундаментальным достижением.

Модели обычно используются в исследованиях спроса на городские перевозки. Они также могут применяться на транспорте, когда планируется изучить эффективность политических мер, а также социальных реформ или изменений окружающей среды. Например * эти модели могут объяснить, как изменения в цене товаров улучшают их доступность, влияют они на демографическую ситуацию, на объемы путешествия, используя альтернативные способы передвижения. Модели также приемлемые для многих других сфер, в частности, в исследованиях выбора жилого помещения, места жительства или образования. Мак-Федден использовал разработанные методы для анализа многих социальных проблем, таких как спрос на бытовую энергию, телефонные услуги и обеспечение жильем людей пожилого возраста и тому подобное.

В результате своих исследований ученый пришел к выводу, что условные логит-модели имеют определенную особенность относительно вероятности выбора между двумя альтернативами, например путешествия автобусом или поездом, независимыми от цены других вариантов передвижения. Эта особенность, названная независимостью несвязанных альтернатив (ННА), нереалистично для статистического потребления. Д.-л. Мак-Федден изобрел не только статистические тесты для установления соответствия ННА, но и предложил общие модели, названные заключенным логит-моделями, которые предусматривают, что выборы индивидов могут быть сделаны в определенной последовательности. Например, при исследовании решений, касающихся места жительства и типа жилья, принято, что гражданин сначала выбирает микрорайон, а затем - тип жилого помещения.

Даже с этими обобщениями модели весьма чувствительны к определенным предсказаний относительно дистрибуции ненаблюдаемых характеристик среди населения. В течение последнего десятилетия Д.-л. Мак-Федден разработал имитационные модели (методы моделируемых моментов) для статистической оценки дискретного выбора моделей, которые допускают гораздо более основных предположений. Мощные компьютеры расширили практическую приспособленность этих численных методов. В результате дискретные выборы индивидов теперь могут быть описаны более реалистично, а их решения - предусмотрены точнее. На основе своей новой теории Мак-Федден разработал микроеконометрични модели, которые могут использоваться, например, для предсказания намерений той части населения, которая будет выбирать различные альтернативы. За развитие методики формального обработки индивидуальных статистических и экономических данных Мак-Феддена отмечено Нобелевской премией.

Д.-л. Мак-Федден в 60-е годы также изобрел эконометрические методы оценки производственной технологии и исследовал факторы, косвенно влияют на потребность фирмы в капитале и в рабочей силе. В течение 90-х лет талантливый ученый научно развил экономику природопользования, обогатил методическую литературу по оценке стоимости природных богатств, в частности исследовал потери общественного богатства вследствие нанесенных в 1989 г.. Убытков окружающей среде нефтяным пятном, движущейся от пострадавшего в аварии танкера "Exxon Valdez * вдоль побережья Аляски.

Лейтмотивом исследований профессора Д.-л. Мак-Феддена е попытки объединить экономическую теорию, статистические и эмпирические методы для решения с их помощью социальных проблем. Его научные разработки также помогают социологам и политикам оценить выбор голосующих, исходя из змьн в их доходах и др.

Мак-Федден первым предложил методологию анализа дискретного выбора, согласно которой каждый индивид выбирает определенную альтернативу, которая максимизирует его полезность. Функции полезности представляют собой способы описания потребительского выбора. Изучая выбор, сделанный потребителями, можно вывести оценочную функцию полезности, адекватно описывала бы их поведение.

В реальной жизни часто появляются вопросы, почему на одних рынках фирмы сотрудничают, а на других - агрессивно конкурируют; к каким средствам следует прибегать фирме, чтобы не допустить вторжения потенциальных конкурентов; как принимаются решения о цене; когда меняются условия спроса или издержек. Изучая эти проблемы, ученые используют теорию игр.
Первыми исследователями в области теории игр были американский математик Дж.-Ф. Нейман и австро-американский экономист О. Моргенштерн («Теория игр и экономическое поведение», 1944). Они распространили математические категории на экономическую жизнь общества, вводя понятия оптимальных стратегий, максимизации ожидаемой полезности, доминирование в игре (на рынке), коалиционные соглашения. Эти ученые оказали стимулирующее влияние на развитие социальных наук в целом, математической статистики, экономической мысли, в частности в области практического использования теории вероятности и теории игр в экономике.
Ученые стремились сформулировать основополагающие критерии рационального поведения участника рынка. Они различали два вида игр. Первый - «с нулевой суммой» - предусматривает такой выигрыш который формируется из издержек других игроков, то есть общая сумма выгоды и издержек всегда равна нулю. Другой вид - «игра с плюсовой суммой», когда индивидуальные игроки ведут борьбу за выигрыш, складывающийся из их ставок. Иногда этот выигрыш создается за счет наличия «выходного» (термин из карточной игры в бридж; так называют одного из игроков, который, делая ставки, не принимает участия в игре), совсем пассивного и часто такого, который служит объектом эксплуатации. И в том, и в другом случае игра неминуемо соединена с риском, поскольку каждый из ее участников, как считали Дж.-Ф. Нейман и О. Моргенштерн, «стремится максимально повысить функцию, переменные которой не контролируются». Если все игроки одинаково умелые, то решающим фактором становится случайность. Однако так происходит редко. Почти всегда важнейшую роль в игре играет хитрость, с помощью которой делаются попытки раскрыть замысел противника и завуалировать свои намерения, а потом занять выгодные позиции и вынудить противника действовать в убыток себе. Важная роль отводится и «контрхитрости».
Во время игры много зависит и от рационального поведения игрока, то есть продуманного выбора и оптимальной стратегии. Разработке формализованного (в виде моделей) описания конфликтных ситуаций, в частности «формулы равновесия», то есть устойчивости решений противников в игре, занимался Дж.-Ф. Нэш
Нэш (Nash) Джон-Форбс (род в 1928) - американский экономист, лауреат Нобелевской премии (1994). Родился в г. Блуэфилд (штат Западная Вирджиния, США). Учился в Университете Карнеги-Меллона по специальности инженера-химика, но, увлекшись математикой, перевелся на математический факультет. Получил диплом бакалавра математики и одновременно магистра математики.
Поступил в аспирантуру по математической специализации Принстонского университета, где защитил докторскую диссертацию на тему «Некооперативные игры» (1950). В следующем году ее опубликовали отдельной статьей в журнале «Анналы математики». Когда обучался на старших курсах университета, принимал участие в исследовательской работе фирмы «RAND Corp.», которая финансировала ряд его разведывательных проектов в области теории игр, математической экономики и общей теории рационального поведения в игровых ситуациях.
В 1951-1959 гг. Дж.-Ф. Нэш - преподаватель Массачусетского технологического института. Одновременно ведет научно-исследовательскую деятельность. Ему удалось решить классическую проблему, связанную с дифференциальной геометрией.
Из-за тяжелой болезни он в течение 20 лет не мог работать.
В 70-е годы болезнь отступила. Но продуктивные научные результаты высшей пробы ему не удавались.
Дж.-Ф. Нэш продолжает исследования по математике. В целом он опубликовал 21 научную работу, 16 из них увидели свет до 1959 г.
Он член Национальной академии наук США, Эконометрического общества и Американской академии искусств и наук.
В классической теории игр кооперативные и бескоалиционные игры трактуются по-разному. Дж.-Ф. Нэш первым указал на отличие между ними и определил кооперативные игры как игры, допускающие свободный обмен информацией и принудительные условия между игроками, а бескоалиционные - как такие, которые не допускают свободного обмена информацией и принудительных условий. Некооперативной является такая игра, когда кооперирование между игроками не допускается вообще. В статьях «Точки равновесия в играх с N-числом участников» и «Проблема заключения сделок» (1951) он математически точно вывел правила действий участников (игроков), которые выигрывают в соответствии с выбранной стратегией. Каждый из игроков старается снизить степень риска с помощью самой выгодной стратегии, то есть путем постоянного приспособления к поведению тех, кто тоже хочет достичь наиболее лучших результатов.
Досконально изучив разные игры, создав серию новых математических игр и наблюдая за действиями участников в разных игровых ситуациях, Дж.-Ф. Нэш стремился понять, как функционирует рынок, как компании принимают решения, связанные с риском, почему покупатели действуют так, а не иначе. Ведь в экономике, как и в игре, руководители фирм должны учитывать не только последние, но и предыдущие шаги конкурентов, а также ситуацию на всем экономическом (игровом, например, шахматном) поле и другие факторы.
Известно, что субъекты экономической жизни - активные ее участники, которые на рынке в условиях конкуренции идут на риск, и он должен быть оправдан. Поэтому каждый из них, как и игрок, должен иметь свою стратегию. Именно из этого исходил Дж.-Ф. Нэш, разрабатывая метод, который позже назвали «равновесием Неша».
Равновесие Неша - совокупность стратегий или действий, согласно которым каждый участник реализовывает оптимальную стратегию, предвидя действия соперников.
«Стратегию» как основное понятие теории игр Дж.-Ф. Нэш разъясняет на основе «игры с нулевой суммой» («симметричная игра»), когда каждый участник имеет определенное количество стратегий. Выигрыш каждого игрока зависит от выбранной им стратегии, а также от стратегии его соперников. На этой основе строится матрица для нахождения оптимальной стратегии, которая при многократном повторении игры обеспечивает определенному игроку максимально возможный средний выигрыш (или максимально возможный средний проигрыш). Поскольку этому игроку неизвестно, какую стратегию выберет противник, ему самому целесообразнее выбрать стратегию, рассчитанную на самое неблагоприятное для него поведение противника (принцип «Гарантированного результата»). Действуя осторожно и считая конкурента сильным, этот игрок выберет для каждой своей стратегии минимально возможный выигрыш. И таким образом из всех минимально выигрышных стратегий выберет такую, которая обеспечит ему максимальный из всех минимальных выигрышей («максимин»).
Его противник, наверное, рассуждает так же. Он найдет для себя наибольшие проигрыши во всех стратегиях этого игрока, а потом из этих максимальных проигрышей выберет минимальный («минимакс»). При равенстве максимина минимаксу решения игроков будут устойчивыми, а игра будет иметь равновесие. Устойчивость (равновесие) решений (стратегий) заключается в том, что обоим участникам игры будет невыгодно отходить от выбранных стратегий. Когда же максимин не равен минимаксу, то решения (стратегии) обоих игроков, если они хотя бы в какой-то мере угадали выбор стратегии противника, будут неустойчивыми, неравновесными.
Значит, равновесие Нэша - результат, в котором стратегия каждого из игроков является лучшей среди других стратегий, принятых остальными участниками игры. Это определение основывается на том, что каждый из игроков изменением собственной роли не может достичь наибольшей выгоды (максимизации функции полезности), если другие участники твердо придерживаются собственной линии поведения.
Свою «формулу равновесия» Дж.-Ф. Нэш усилил показателем оптимального объема информации. Он вывел его из анализа ситуаций с полным информированием игрока о своих противниках и с неполным информированием о них. Переведя этот постулат с математического языка на язык экономической жизни, ученый ввел (как важный информационный элемент знания условий «внешней среды») неуправляемые переменные рыночных отношений.
Появление в науке равновесия Дж.-Ф. Нэша открыло многочисленные исследования с целью приближения его к реальной экономической действительности. На усовершенствование равновесия Дж.-Ф. Нэша были направлены исследования многих ученых. Среди них Дж.-Ч. Харшани.
Харшани (Harsanyi) Джон-Чарльз (1920-2000) - американский экономист, лауреат Нобелевской премии (1994). Родился в г. Будапеште (Венгрия), закончил Лютеранскую гимназию.
Получил высшее медицинское образование. В 1947 г., защитив докторскую диссертацию, начал работать преподавателем университетского Института социологии. Из-за антимарксистских взглядов в 1948 г. вышел в отставку, а потом выехал в Австралию. Там работал на заводе, одновременно обучался в Сиднейском университете, где изучал английский язык и экономику. В 1953 г. получил степень магистра.
С 1954 г. он лектор экономики Брисбенского университета. Через два года Дж.-Ч. Харшани был отмечен Фондом Рокфеллера, что давало ему право в течение следующих двух лет писать докторскую диссертацию в Стэнфордском университете.
В 1958 г. Дж.-Ч. Харшани возвращается в Австралию. Однако, почувствовав определенную изолированность, поскольку в этой стране в то время теория игр фактически не была известна, переехал в США, где работал профессором экономики Детройтского университета. В 1964 г. он профессор Экономического центра Волтера Хааса при университете Беркли в штате Калифорния.
Первые научные работы Дж.-Ч. Харшани опубликовал в начале 50-х годов, посвятив их вопросам использования функции полезности Неймана-Моргенштерна в экономике благосостояния и в этике. Дж.-Ч. Харшани является автором многих работ по утилитарной этике, экономики благосостояния, а также в сфере, граничащей между экономикой и моральной философией. В работе «Рациональное поведение и переговорное равновесие в играх и социальных ситуациях» (1977) он обосновывает «общую теорию рационального поведения», охватывающую «теорию индивидуального решения», вопросы деловой этики и теорию игр. Среди его книг «Эссе по этике, социальному поведению и научному объяснению» (1976), «Работы по теории игр» (1982), «Общая теория выбора равновесия в играх» (1988, совместно с Р.-Дж.-Р. Селтеном), которая в 2001 г. издана на русском языке, «Рациональное взаимодействие» и др.
Дж.-Ч. Харшани - почетный доктор Северно-Западного и почетный профессор Калифорнийского университетов (США).
Предметом исследования Дж.-Ч. Харшани были сложные ситуации, которые случаются при наличии асимметричной информации. В игре с полной информацией все игроки знают преимущества других, а в игре с неполной информацией они нуждаются в этих знаниях.
Поскольку толкование равновесия Нэша базировалось на прогнозе, что игроки знают преимущества других, все методы были недоступны для анализа игр с неполной информацией, несмотря на то, что такие игры более полно отражают стратегические взаимосвязи в реальном мире.
Ситуацию радикально изменили исследования Дж.-Ч. Харшани («Игры с неполной информацией, сыгранные байсианскими игроками»). Ученый исходил из того, что каждый игрок является одним из нескольких «типов», а каждый тип отвечает набору возможных преимуществ для игрока и вероятно распределяет почти всех на типы игроков. Значит, каждый игрок в игре с неполной информацией выбирает стратегию одного из таких типов. С согласованным требованием в отношении возможности распределения игроков Дж.-Ч. Харшани показал, что для каждой игры с неполной информацией существует эквивалентная игра с полной информацией. То есть он трансформировал игру с неполной информацией в игру с несовершенной информацией. В таком случае игра может регулироваться стандартными моделями.
Примером игры с неполной информацией может быть ситуация, когда частные фирмы и финансовые рынки точно не знают преимуществ центрального банка в отношении дилеммы между инфляцией и безработицей. Соответственно неизвестна и банковская политика в отношении будущих процентных ставок. Взаимодействие между будущими ожиданиями и политикой центрального банка можно проанализировать с помощью методики, предложенной Дж.-Ч. Харшани. В самом простом виде банк может или ориентироваться на борьбу с инфляцией и, значит, готовиться к осуществлению ограничительной политики с высокими процентными показателями, или будет бороться с безработицей с помощью низких процентных показателей.
Равновесие Нэша доработал и усовершенствовал, в частности относительно игр с неполной информацией, Р.-Дж.-Р. Селтен.
Селтен (Selten) Рейнхард-Джустус-Реджинальд (род в 1930) - немецкий экономист, лауреат Нобелевской премии (1994). Родился в г. Бреслау (ныне г. Вроцлав, Польша). В 1951 г. закончил в г. Мелсунген среднюю школу. Уже здесь заинтересовался математикой, впервые узнал о теории игр. Учился на математическом факультете Университета во Франкфурте-на Майне, окончил его в 1957 г. в течение десяти лет
Р.-Дж.-Р. Селтен работал там ассистентом. Этот период его жизни был насыщен активной экспериментаторской работой. В 1959 г. защитил докторскую диссертацию по математике. На протяжении 1969-1972 гг. он профессор экономики Свободного университета в Западном Берлине. Потом работал в Билефельдском университете, в котором продолжил экспериментальные исследования теории игр.
С 1984 г. Р.-Дж.-Р. Селтен - профессор кафедры экономики Боннского университета имени Фридриха-Вильгельма. Выступив организатором научно-исследовательского года (с 1 октября 1987 года по 30 сентября 1988 года) по теории игр в поведенческих науках, он сумел собрать большую международную группу экономистов, биологов, математиков, политологов, психологов и философов. Их общая работа изложена
в 4-х книгах «Модели равновесия игры» (1991). Р.-Дж.-Р. Селтен - основатель теории некооперативных игр.
В 1995 г. Р.-Дж.-Р. Селтен избран вице-президентом Европейской экономической ассоциации, а в 1997 г. - ее президентом. Он член Американских экономической ассоциации и эконометрического общества, входит в состав многих редколлегий научных журналов, является почетным иностранным членом Американской академии искусств и наук, членом Национальной академии наук США, а также почетным доктором Билефельдского, Бреславского, Грацского университетов, Университета Франкфурта-на-Майне и др.
В статье «Модель олигополии с инерцией спроса» (1965)
Р.-Дж.-Р. Селтен разработал «чистую стратегию» с интуитивным выбором. Последовательно усложняя и уточняя отмеченное «равновесие» дополнительными условиями для предыдущих договоренностей об игре, ученый развивал ее с точки зрения динамики и приближал к условиям реальной жизни. Он на противоположных примерах доказал, что даже точки равновесия могут вызвать иррациональное поведение. По мнению ученого, только специальный класс точек равновесия (он их назвал «истинными», или «совершенными точками равновесия») обеспечивает на самом деле рациональное поведение в бескоалиционной игре.
Понятие «равновесие Нэша» распространяется на теорию динамичных игр. В этом случае каждый участник выбирает стратегию (то есть план действий для каждого периода игры), которая максимизирует его выигрыш при заданных стратегиях других игроков. Основная проблема с динамичным равновесием Неша заключается в том, что в последнем периоде игры игроки могут вести себя иррационально. В тот момент, когда становится ясно, что данный период игры последний, ранее выбранное действие может оказаться иррациональным (не максимизирует выгоду). Усовершенствованное понятие равновесия, предложенное в 1975 г.
Р.-Дж.-Р. Селтеном, позволяет избавиться от непредвиденных предпосылок о стратегиях. Это понятие «совершенного равновесия Нэша», или совершенного равновесия субигры, предусматривает, что стратегии, выбранные игроками, являются равновесными, по Нешу, в каждой субигре (то есть в каждой однопериодной игре основной игры) независимо от того, какие действия были выполнены раньше.
Внедрение равновесия Нэша стало важным шагом в микроэкономике. Его использование способствовало углубленному пониманию развития и функционирования рынков, обоснованию стратегических решений, принимающихся менеджерами разных фирм. Важным является вклад Р.-Дж.-Р. Селтена, который усовершенствовал концепцию равновесия Нэша для анализа стратегического взаимодействия в динамике и использовал это для анализа конкуренции при условии небольшого количества участников. А методология анализа игры с неполной информацией Дж.-Ч. Харшани обеспечила теоретическую основу для исследования экономики информации.
Равновесием Нэша можно пользоваться при изучении процесса ведения политических переговоров и экономического поведения, в частности на олигополистических рынках (форма организации рынка, где существует несколько производителей однородного или дифференцированного товара). Именно Р.-Дж.-Р. Селтен выявил возможности использования моделей в политике. Его сотрудничество с американским ученым-политиком А. Пелмутером позволило разработать так называемый сценарий пакетного метода - систематизированный способ создания простых моделей игры конкретных международных конфликтов, благодаря которым можно осуществлять экспертные проверки эмпирических фактов.
Таким образом, дополненная теория игр дала экономике мощный математический инструментарий, который помог экономистам освободиться от зависимости от формального математического аппарата физики. Равновесие Нэша - это гибкий метод анализа разнообразных конкретных проблем и ситуаций на рынках.
Теория игр в дальнейшем была использована в исследованиях Томаса Шеллинга и Роберта Оманна. Их интересовал вопрос: «Почему некоторые группы людей, организаций и стран преуспевают в сотрудничестве, в то время как другие страдают от постоянных конфликтов?»
Шеллинг (Schelling) Томас Кромби (род. в 1921) - американский экономист, лауреат Нобелевской премии 2005 г. «За расширение понимания проблем конфликта и кооперации с помощью анализа в рамках теории игр». Профессор Мэрилендского университета. Президент Американской экономической ассоциации в 1991 г. Лауреат премии Фрэнка Сейдмана (1977). Основные произведения: «Стратегия конфликта» (The Strategy of Conflict, 1960); «Микромотивы и макровыбор» (Micromotives and Macrobehavior, 1978); «Выбор и последствия» (Choice and Consequence, 1985).
Использовал теорию игр для принятия рациональных решений в условиях недостаточной информации о возможных последствиях, как базу для объединения и исследования общественных наук в своей книге «Стратегия конфликта» (The Strategy of Conflict), опубликованной в 50-е годы прошлого века в условиях гонки вооружений.
В своей книге Шеллинг показывает, например, что способность принять ответные меры может быть иногда более полезной, чем способность выдержать атаку, или что возможное неизвестное возмездие часто более эффективно, нежели известное неотвратимое возмездие.
В книге Шеллинга рассматривались возможности решения стратегических конфликтов и способы избежать войны, однако его выводы могли объяснить и широкий диапазон явлений в сфере экономики и конкурентоспособности предприятий.
Р. Ауманн в свою очередь, посвятил свои исследования изучению теории бесконечных повторяющихся игр или того, каким образом можно поддерживать определенные результаты в отношениях в течение долгого периода времени.
Ауманн (Aumann) Исраэль Роберт Джон (также Оман) (род. в 1930) - израильский математик, профессор Еврейского университета в Иерусалиме, лауреат Нобелевской премии по экономике 2005 года «За расширение понимания проблем конфликта и кооперации с помощью анализа в рамках теории игр».
В 1983 году Оман был награждён премией Харви. В 1994 году профессор Оман был награждён Государственной премией Израиля по экономике вместе с профессором Михаэлем Бруно.
Р. Оман возглавлял Общество теории игр, а в начале 1990-х являлся президентом Израильского союза математиков. Кроме того являлся ответственным редактором «Журнала Европейского математического общества». Ауманн также консультировал Агентство США по контролю за вооружениями и разоружению. Он занимался теорией игр и её приложениями около 40 лет. Основные произведения: «Почти строго конкурентные игры» (Almost Strictly Competitive Games, 1961); «Смешанные и поведенческие стратегии в бесконечно расширенных играх» (Mixed and Behavior Strategies in Infinite Extensive Games, 1964).
Теория игр - это наука о стратегии, она изучает, как различные соперничающие группы - бизнесмены или любые другие сообщества - могут сотрудничать с получением идеального результата.
Оман специализировался в «повторяющихся играх», анализируя развитие конфликта во времени. Исследования Ауманна базировались на идее о том, что сотрудничество во многих ситуациях легче установить в ходе долгосрочных стабильных отношений.
Теория Ауманна объясняет, почему более трудно достичь сотрудничества между большим количеством участников, учитывая насколько часты, продолжительны и надежны контакты между ними и насколько каждый участник может предвидеть действия других.
Исследования направлены на объяснение таких экономических конфликтов, как ценовые и торговые войны, раскрытие механизма переговоров в различных условиях - от требований о повышении заработной платы до заключения международных торговых соглашений.

В результате освоения данной главы студент должен:

знать

• определение равновесия по Нэшу (как в чистых, так и в смешанных стратегиях);
• основные свойства равновесия по Нэшу;
• теоремы, формулирующие условия существования равновесия по Нэшу в стратегических играх;
• определение понятия "равновесие дрожащей руки";

уметь

Решать задачу нахождения равновесия по Нэшу в биматричных играх (в том числе графическим методом для игр);

владеть

• простейшими методами анализа свойств биматричных игр 2 х 2 с использованием результатов их графического решения;
• системой представлений как о возможностях, так и об объективных проблемах практического применения понятия равновесия по Нэшу;
• терминологическим аппаратом, позволяющим самостоятельно осваивать научную и профессиональную литературу, использующую понятие равновесия но Нэшу и его свойства.

В данной главе мы рассмотрим основной объект исследования теории бескоалиционных игр, получивший название равновесия по Нэшу. Данное понятие было предложено выдающимся американским математиком Джоном Нэшем (John Forbes Nash) сначала в его диссертации, а затем в серии работ, вышедших в 1950-1953 гг. .

^ Ситуацию s* в игре Г = (I, {} i Î I , {(s)} i Î I) будем называть равновесием но Нэшу (в чистых стратегиях), если для любого игрока i Î I

Другими словами, ситуация равновесия по Нэшу - это такая ситуация в игре, от которой ни одному из игроков невыгодно отклоняться поодиночке (при условии что остальные участники игры придерживаются своих стратегий, образующих равновесие по Нэшу).

Рассмотрим отображения, которые для каждого игрока i Î I для каждой возможной подситуации Î ставят в соответствие некоторую стратегию , являющуюся его наилучшим ответом для данной подситуации:

Отображения возвращающие наилучшие ответы на подситуации, также называют отображениями отклика игрока. Из неравенства (3.1) следует, что ситуация равновесия по Нэшу образуется стратегиями, которые возвращаются отображениями отклика всех игроков, т.е. ситуация равновесия по Нэшу - это ситуация, образуемая наилучшими ответами каждого игрока на наилучшие ответы остальных:

В свою очередь, из условия (3.3) вытекают следующие свойства.

• 1. Строго доминируемые стратегии и НЛО-стратегии не могут входить в равновесие по Нэшу.
• 2. Стратегии, образующие равновесие по Нэшу, не могут быть исключены в процессе удаления строго доминируемых стратегий и рационализации игры.

Одновременно следует подчеркнуть, что слабо доминируемые стратегии перечисленными свойствами не обладают. Несложно сконструировать пример равновесия по Нэшу, в котором будут присутствовать одна или несколько слабодоминируемых стратегий.

Для рассмотрения свойств равновесия по Нэшу вернемся к игре "дилемма заключенного" (см. табл. 2.1).

Как нетрудно заметить, данная игра имеет единственное состояние равновесия по Нэшу. Это ситуация (С, С), в которой оба игрока сознаются и получают по пять лет тюремного наказания. Фундаментальным качеством ситуации (С, С) является именно то, что от нее действительно никому невыгодно отклоняться поодиночке. Если один из заключенных попытается сменить стратегию с "сознаться" на "молчать", то

этим он только ухудшит свое положение - вместо пяти лет наказания получит десять - и улучшит положение другого игрока, которого отпустят.

Нельзя не признать, что ситуация равновесия в данном примере является неэффективным исходом для заключенных. Ведь в ситуации (М, М) - оба молчат - их полезности выше (срок наказания составляет один год против пяти). Однако ситуация (М, М) обладает тем недостатком, что она неустойчива. В ней каждому из игроков выгодно сменить стратегию "молчать" на "сознаться", при условии что другой игрок продолжает придерживаться стратегии "молчать". В этом случае наказание для предавшего становится нулевым, правда, резко возрастает для преданного: с года до десяти.

Таким образом, дилемма заключенного достаточно ярко отражает тот факт, что

равновесие по Нэшу - необязательно "самая выгодная" ситуация для игроков, это устойчивая ситуация.

Также на примере дилеммы заключенного достаточно наглядно может быть продемонстрировано соотношение равновесия по Нэшу с таким фундаментальным понятием экономики, как оптимальность по Парето . Напомним, что

распределение называют оптимальным но Парето (Парето-оптимальным), когда полезность (благосостояние) ни одного из участников этого распределения не может быть увеличена без уменьшения полезности какого-либо другого участника.

Нетрудно заметить, что в дилемме заключенного ситуация равновесия но Нэшу является единственной Парето-неоптимальной: полезность участников "безболезненно для каждого из них" можно улучшить, перейдя от ситуации (С, С) к ситуации (М, М), но последняя не является равновесием по Нэшу в силу своей неустойчивости. С этой точки зрения дилемма заключенного является классическим примером, демонстрирующим различия между понятиями "равновесие по Нэшу" и "оптимальность по Парето".

Продемонстрируем возможности практического использования концепции равновесия по Нэшу на примере сюжетов из литературного приложения.

• За свой вклад в теорию некооперативных игр Дж. Нэш в 1994 г. получил Нобелевскую премию по экономике
• Введено итальянским экономистом и социологом Вильфредо Парето (1848-1923)

Что же делать участвующим в игре агентам? Как им определить, какая стратегия лучше других?

Давайте для начала поставим перед собой более скромную цель: определить, какие стратегии точно не подойдут.

Определение 1.2 . Стратегия агента называется доминируемой, если существует такая стратегия , что

В таком случае говорят, что доминирует над .

Иначе говоря, стратегия доминируема, если существует другая стратегия, которая не хуже в каждой точке, при любых возможных комбинациях стратегий других агентов. Значит, нет вообще никакой причины предпочитать , и ее можно просто отбросить при анализе.

Пример 1.4 . Вспомним пример 1.2, в котором полковник Блотто собирался расставить войска на поле . Если проанализировать матрицу из примера 1.2, станет очевидным, что стратегии , и доминируются другими: например, стратегия окажется лучше любой из них. Разумеется, то же самое верно и для противника Блотто. Таким образом, матрица существенно сократится.

Конец примера 1.4 .

Пример 1.5 . В примере 1.3, в котором мы обсуждали конкуренцию по Курно, было очень много доминируемых стратегий. Таковыми были все стратегии : они гарантированно приносили неположительную прибыль , в то время как нулевая стратегия (, ничего не производить) гарантирует нулевую прибыль . Поэтому сразу можно было ограничиться анализом квадрата в качестве множества стратегий.

Конец примера 1.5 .

Правда, стоит заметить, что легко построить пример, в котором любая стратегия доминируема. Это будет значить, что некоторые стратегии эквивалентны, то есть доминируют друг над другом. В таких случаях хотя бы одну из них стоит оставить, а то совсем не из чего будет выбирать.

Продолжаем разговор. После доминируемых стратегий логично будет ввести доминантные стратегии .

Определение 1.3 . Стратегия агента называется доминантной , если всякая другая стратегия ею доминируется, то есть

Доминантная стратегия для агента - настоящее счастье. Ему вообще думать не надо: достаточно выбрать доминантную стратегию, все равно никакая другая ни при каком исходе ничего лучшего не даст.

Более того, если у всех агентов есть доминантные стратегии , то анализ такой игры закончится, не успев начаться. Можно с уверенностью сказать, что все агенты выберут свои доминантные стратегии .

Определение 1.4 . Равновесие в доминантных стратегиях для стратегической игры - это такой профиль стратегий , что для всякого агента стратегия является доминантной.

Такое равновесие является самым устойчивым из всех. В следующей лекции мы приведем пример из теории экономических механизмов, в котором возникает такое равновесие - так называемый аукцион Викри (см. теорему 2.1.

Но, к сожалению, счастье достижимо далеко не всегда. Ни в примере 1.1, ни в примере 1.2, ни в примере 1.3 никакого равновесия в доминантных стратегиях не получалось. Для каждой стратегии игрока там существовал профиль стратегий других игроков , в котором игроку было бы выгодно сменить на ту или иную .

Равновесие Нэша

В предыдущем параграфе мы обсудили, что если у агента есть доминантная стратегия , то ему вообще размышлять и беспокоиться не о чем: он может просто выбирать эту стратегию. Но что же делать участвующим в игре агентам, когда таких стратегий нет и не предвидится?

Тогда приходится учитывать не только свои собственные стратегии, но и стратегии других агентов. Учет этот приведет к понятию равновесия, сформулированному в 1950 году Джоном Нэшем .

Определение 1.5 . Равновесие Нэша в чистых стратегиях для стратегической игры - это такой профиль стратегий , что для всякого агента выполняется следующее условие:

Иначе говоря, как и прежде, агенту невыгодно отклоняться от избранной стратегии . Но теперь ему это невыгодно делать не абстрактно, при любом выборе стратегий у других агентов, а только в конкретном профиле стратегий .

Пример 1.6 . Продолжаем рассматривать беднягу Блотто. Матрица игры полковника без доминируемых стратегий была приведена в примере 1.4. Из матрицы легко видеть, что если один игрок выбирает стратегию , то от выбора другого уже ничего не зависит, то есть можно сказать, что другому тоже нет резона отклоняться от стратегии . Все это значит, что для данной игры профиль стратегий находится в равновесии Нэша.

Конец примера 1.6 .

Приведем и непрерывный пример - поверьте, нас еще ждут подобные рассуждения, и пора привыкать к чуть более серьезному анализу.

Пример 1.7 . Вернемся к анализу конкуренции по Курно из примера 1.3. На этот раз мы не будем ничего упрощать: пусть цена задается неизвестной функцией , а себестоимость производства для каждой фирмы - неизвестной функцией . Чтобы найти равновесие Нэша, найдем функцию лучшего ответа. Прибыль компании определяется как

Чтобы определить максимум функции для фиксированного , нужно просто найти производную

и приравнять ее к нулю. Соответственно, равновесие Нэша достигается там, где обе фирмы выдают оптимальный ответ на стратегию противника, то есть на решениях следующей системы дифференциальных уравнений :

Оставим читателю удовольствие проверить, что в рассмотренном в примере 1.3 частном случае равновесием Нэша действительно будет точка пересечения прямых на рис. 1.1 .

Конец примера 1.7 .

В определении 1.5 упоминался странный термин " чистые стратегии ": а какими еще они бывают? Оказывается, что стратегии бывают не только чистыми, но и смешанными. Смешанные стратегии - логичное расширение понятия стратегии: давайте разрешим игроку не только выбирать одну из , но и делать из них более или менее случайный выбор.

Определение 1.6 . Смешанная стратегия для игрока в стратегической игре - это распределение вероятностей , где - множество всех распределений вероятностей над .

Смешанную стратегию также можно рассматривать как задание весов для каждой стратегии так, чтобы сумма (в непрерывном случае - интеграл ) всех весов была равна 1.

Бывают игры, где нет равновесий Нэша для чистых стратегий . Но оно всегда (в конечном случае) есть в смешанных стратегиях .

Пример 1.8 . Вспомним игру "камень-ножницы-бумага", матрицу которой мы уже выписывали в примере 1.1.

Очевидно, что никакого равновесия Нэша в чистых стратегиях здесь нет: для любой стратегии найдется кому ее опровергнуть. Но равновесие Нэша в смешанных стратегиях здесь имеется. Предположим, что второй игрок выбирает камень, ножницы или бумагу с вероятностью , а первый выбирает их с вероятностями , и . Тогда первый игрок выигрывает с вероятностью

а также проигрывает и делает ничью с той же вероятностью. Иначе говоря, если противник выбирает стратегию равновероятно, для игрока все стратегии эквивалентны. Поскольку игра симметрична, получается, что профиль смешанных стратегий

находится в равновесии.

Конец примера 1.8 .

Доказательство того, что равновесие в смешанных стратегиях всегда существует, следует из теоремы Какутани о неподвижной точке [ , ].

Теорема 1.1 (Какутани) Пусть - непустое выпуклое компактное подмножество евклидова пространства , а - многозначная функция на с замкнутым графиком, такая, что множество непусто, замкнуто и выпукло для всех . Тогда у есть