Рассмотрим однородный стержень длины l, т.е. тело цилиндрической или иной формы, для растяжения или изгибания которого надо приложить известное усилие. Последнее обстоятельство и отличает даже самый тонкий стержень от струны, которая, как все знают, гнется свободно.

В представленной мною работе я покажу приложение метода характеристик к изучению продольных колебаний стержня, причем ограничусь исследованием только таких колебаний, при которых поперечное сечение pq, перемещаясь вдоль оси стержня, остается плоскими и параллельными друг другу. Подобное допущение оправданно, если поперечные размеры стержня будут невелики по сравнению с его длиной.

Если несколько растянуть или сжать стержень вдоль продольной оси, а затем предоставить самому себе, то в нем возникнут продольные колебания.

Направив ось x вдоль оси стержня и буду считать, что в состоянии покоя концы сечения стержня находятся в точках x=0 и x=l. Пусть х-абсцисса некоторого сечения стержня, когда последний находится в покое. Введу обозначение, через u(x,t) смещение этого сечения в момент времени t; тогда смещение сечения с абсциссой x+dx будет равно

Отсюда ясно,что относительное удлинение стержня в сечении с абсциссой х выражается производной

Теперь считая, что стержень совершает малые колебания, можно вычислить натяжение Т. Применяя закон Гука, получаю:

Где Е- модуль упругости материала стержня, а S- площадь его поперечного сечения. Возьму элемент стержня, заключенный между двумя сечениями, абсциссы которых в состоянии покоя соответственно равны х и х+dx. На этот элемент действуют силы натяжения, приложенные в этих сечениях, и направленные вдоль оси Ох. Результатирующая этих сил имеет величину

ES - ES?ES (2) (Теорема Лагранжа)

И направлена также вдоль. С другой стороны, ускорение элемента равно,вследствие чего мы можем написать равенство

Где - объемная плотность стержня. Положив

И сократив на,получим дифференциальное уравнение продольных колебаний однородного стержня

Форма этого уравнения показывает, что продольные колебания стержня носит волновой характер, причем скорость распространения продольных волн определяется формулой (4).Если стержень действует еще внешняя сила расчитанная на единицу его объема, то вместо (3) получаем

Это есть уравнение вынужденных продольных колебаний стержня.

Как и вообще в динамике, одного уравнения движения (6) недостаточно для полного определения движения стержня. Нужно задать начальные условия, т.е. задать смещение сечений стержня и их скорости в начальный момент времени

где и F(x) - заданные функции в интервале(0,l).

Кроме того, должны быть заданы граничные условия на концах стержня. Например:

1) Стержень закреплен на обоих концах. В этом случае

u(0,t)=0, u(l,t)=0 (8)

в любой момент времени t.

2) Один конец стержня закреплен, другой свободен, т.е.

u(0,t)=0, =0 (9)

в любой момент времени t. На свободном конце x=l натяжение T=ES равно нулю (нет внешних сил) и, следовательно, =0

3) Оба конца стержня свободны.

В любой момент времени

Таким образом, задача о продольных колебаниях однородного ограниченного стержня сводится к решению уравнения (6), удовлетворяющему начальному условию (7) и одному из граничных условий (8), (9), (10) и т.д. продольный колебание дифференциальный волновой

Рассмотрим задачу о продольных колебаниях однородного упругого стержня длины l, когда его конец x=0 закреплен, а другой x=l свободен. Эта задача сводится к решению волнового уравнения.

При граничных условиях

И начальных условиях

F(x) (0?x?l) (3)

Согласно методу Фурье, ищем частные решения уравнения (1) в виде

u(x,t)=X(x) T(x) (4)

Подставляю уравнение (4) в (1) и получаю

откуда получаем два уравнения

Чтобы функция (4), отличная от тождественного нуля, удовлетворяла граничными условиями (2), очевидно, нужно потребовать выполнение условий

X(x)=0, X(l)=0 (6)

Таким образом, я пришел к задаче о собственных значениях для уравнения (5) при граничных условиях (7). Интегрируя уравнения (5) получим

Из граничных условий (6) имеем

Cчитая нахожу =0, откуда

где k-целое число

Таким образом, нетривиальные решения задачи(4), (5) возможны лишь при значениях??:

Собственным значением соответствуют собственные функции

(x)= (k=1,2,…..)

Определенные с точностью до постоянного множителя, который мы положили равным единице (k- отрицательным не будет)

При??= общее решение уравнение (5) имеет вид

Где - произвольные постоянные. В силу (3) получаю

Удовлетворяют (1) и граничным условиям (2) при любых. Составляю ряд.

для выполнения начальных условий (2) необходимо, чтобы

Предполагая, что ряды (8), (9) сходятся равномерно, можно определить коэффициенты умножив на обе части равенств на и проинтегрировав по xв пределах от х=0 до х=l. Учитывая,

Подставив найденные значения коэффициентов в ряд (7),я, возможно, получу решение задачи полученные из него двухкратным почленным дифференцированием по xи t, равномерно сходятся.

Рассмотрев решение (7), видно, что колебательное движение стержня является результатом сложения простых гармонических колебаний

Совершающихся с амплитудой и с частотами

Основной тон, получающийся при k=0, имеет период колебания

Так как амплитуда основного тона равно

То очевидно, что в закрепленном конце стержня х=0 образуется узел, а в свободном конце x=l-пучность.

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) doi: http://dx.doi УДК 517.956.3

ЗАДАЧА О ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО НАГРУЖЕННОГО СТЕРЖНЯ

А. Б. Бейлин

Самарский государственный технический университет, Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

Аннотация

Рассматриваются одномерные продольные колебания толстого короткого стержня, закреплённого на концах при помощи сосредоточенных масс и пружин. В качестве математической модели используется начально-краевая задача с динамическими краевыми условиями для гиперболического уравнения четвёртого порядка. Выбор именно этой модели обусловлен необходимостью учитывать эффекты деформации стержня в поперечном направлении, пренебрежение которыми, как показано Рэ-леем, приводит к ошибке, что подтверждено современной нелокальной концепцией изучения колебаний твёрдых тел. Доказано существование ортогональной с нагрузкой системы собственных функций исследуемой задачи и получено их представление. Установленные свойства собственных функций позволили применить метод разделения переменных и доказать существование единственного решения поставленной задачи.

Ключевые слова: динамические краевые условия, продольные колебания, ортогональность с нагрузкой, модель Рэлея.

Введение. В любой работающей механической системе возникают колебательные процессы, которые могут порождаться различными причинами. Колебательные процессы могут быть следствием конструктивных особенностей системы или перераспределения нагрузок между различными элементами штатно работающей конструкции.

Наличие в механизме источников колебательных процессов может затруднить диагностику его состояния и даже привести к нарушению режима его работы, а в некоторых случаях и к разрушению. Различные проблемы, связанные с нарушением точности и работоспособности механических систем в результате вибрации некоторых их элементов, на практике часто решаются экспериментально.

Вместе с тем колебательные процессы могут быть весьма полезными, например, для обработки материалов, сборки и разборки соединений . Ультразвуковые колебания позволяют не только интенсифицировать процессы резания (сверления, фрезерования, шлифования и т. д.) материалов с высокой твёрдостью (вольфрамосодержащих, титанокарбидных сталей и т. п.),

© 2016 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования

Бейлин А. Б. Задача о продольных колебаниях упруго закрепленного нагруженного стержня // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2016. T. 20, № 2. С. 249258. doi: 10.14498/vsgtu1474. Сведения об авторе

Александр Борисович Бейлин (к.т.н, доц.; [email protected]), доцент, каф. автоматизированных станочных и инструментальных систем.

но в некоторых случаях стать единственно возможным методом обработки хрупких материалов (германий, кремний, стекло и т. д.) . Элемент устройства (волновод), который передаёт ультразвуковые колебания от источника (вибратора) до инструмента, называется концентратором и может иметь различную форму: цилиндрическую, коническую, ступенчатую, экспоненциальную и т. д. . Его предназначение - донести до инструмента колебания нужной амплитуды.

Таким образом, следствия протекания колебательных процессов могут быть различными, как и причины, их вызывающие, поэтому естественно возникает необходимость теоретического изучения процессов колебания. Математическая модель распространения волн в относительно длинных и тонких твёрдых стержнях, в основе которой лежит волновое уравнение второго порядка, хорошо изучена и давно стала классикой . Однако, как показано Рэлеем , эта модель не вполне соответствует исследованию колебаний толстого короткого стержня, тогда как многие детали реальных механизмов можно интерпретировать как короткие и толстые стержни. В этом случае следует учитывать деформации стержня и в поперечном направлении. Математическая модель продольных колебаний толстого короткого стержня, в которой учтены эффекты поперечного движения стержня, называется стержнем Рэлея и базируется на гиперболическом уравнении четвёртого порядка

^ ^- IX (а(х) ё)- дх (ь(х))=; (хЛ (1)

коэффициенты которого имеют физический смысл :

д(х) = р(х)А(х), а(х) = А(х)Е(х), Ь(х) = р(х)и2(х)1р (х),

где А(х) -площадь поперечного сечения, р(х) -массовая плотность стержня, Е(х) -модуль Юнга, V(х) - коэффициент Пуассона, 1Р(х) -полярный момент инерции, и(х,Ь) - продольные смещения, подлежащие определению.

Идеи Рэлея нашли своё подтверждение и развитие в современных работах, посвященных процессам колебаний, а также теории пластичности. В обзорной статье обоснованы недостатки классических моделей, описывающих состояние и поведение твёрдых тел при нагрузке, в которых априори тело считается идеальным континуумом. Современный уровень развития естествознания требует построения новых моделей, адекватно описывающих исследуемые процессы, а разработанные в последние несколько десятилетий математические методы дают эту возможность. На этом пути в последнюю четверть прошлого века был предложен новый подход к изучению многих физических процессов, в том числе и упомянутых выше, основанный на понятии нелокальности (см. статью и список литературы в ней). Один из классов нелокальных моделей, выделенных авторами, назван «слабо нелокальными». Математические модели, принадлежащие этому классу, могут быть реализованы введением в уравнение, описывающее некоторый процесс, производных высокого порядка, позволяющих учитывать в некотором приближении взаимодействие внутренних элементов объекта изучения. Таким образом, модель Рэлея актуальна и в наше время.

1. Постановка задачи. Пусть концы стержня х = 0, х = I прикреплены к неподвижному основанию при помощи сосредоточенных масс Ы\, М2 и пружин, жёсткости которых К\ и К2. Будем считать, что стержень представляет собой тело вращения относительно оси 0х ив начальный момент времени находится в покое в положении равновесия. Тогда мы приходим к следующей начально-краевой задаче.

Задача. Найти в области Qт = {(0,1) х (0, Т) : 1,Т < те} "решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным данным

и(х, 0) = (р(х), щ(х, 0) = ф(х) и граничным условиям

а(0)их(0, г) + ь(0)илй(0, г) - к^(0, г) - М1ии(0, г) = 0, а(1)их(1, г) + Ъ(1)ихы(1, г) + К2и(1, г) + М2иы(1, г) = 0. ()

В статье рассмотрены некоторые частные случаи задачи (1)-(2) и приведены примеры, в которых коэффициенты уравнения имеют явный вид и М\ = М2 = 0. В статье доказана однозначная слабая разрешимость поставленной задачи в общем случае.

Условия (2) обусловлены способом закрепления стержня: его концы прикреплены к неподвижным основаниям с помощью некоторых приспособлений, имеющих массы М\, М2, и пружин с жёсткостями К1, К2 соответственно. Наличие масс и учёт поперечных смещений приводит к условиям вида (2), содержащим производные по времени. Краевые условия, в которые входят производные по времени, называются динамическими. Они могут возникать в различных ситуациях, простейшие из которых описаны в учебнике , а гораздо более сложные -в монографии .

2. Изучение собственных колебаний стержня. Рассмотрим однородное уравнение, соответствующее уравнению (1). Так как коэффициенты зависят только от х, можно разделить переменные, представив и(х,г) = X(х)Т(г). Получим два уравнения:

т""(г) + \2т (г) = 0,

((а(х) - Л2Ъ(х))Х"(х))" + Л2дХ(х) = 0. (3)

Уравнение (3) сопровождается краевыми условиями

(а(0) - \2Ъ(0))Х"(0) - (К1 - \2М1)Х(0) = 0,

(а(1) - \2Ъ(1))Х"(1) + (К2 - \2М2)Х(I) = 0. (4)

Таким образом, мы пришли к задаче Штурма-Лиувилля, которая отличается от классической тем, что спектральный параметр Л входит в коэффициент при старшей производной уравнения, а также в краевые условия. Это обстоятельство не позволяет ссылаться на известные из литературы результаты, поэтому нашей ближайшей целью является изучение задачи (3), (4). Для успешной реализации метода разделения переменных нам нужна информация о существовании и расположении собственных чисел, о качественных

свойствах собственных функций: обладают ли они свойством ортогональности?

Покажем, что Л2 > 0. Предположим, что это не так. Пусть X(х) -собственная функция задачи (3), (4), соответствующая значению Л = 0. Умножим (3) на X(х) и проинтегрируем полученное равенство по промежутку (0,1). Интегрируя по частям и применяя краевые условия (4), после элементарных преобразований получим

1(0) - Л2Ъ(0))(а(1) - Л2Ъ(1)) I (дХ2 + ЪХ"2)йх+

Ы\Х 2(0) + М2Х 2(1)

I аХ"2<1х + К\Х2(0) + К2Х2(1). Jo

Заметим, что из физического смысла функции а(х), Ъ(х), д(х) положительны, Кг, Мг неотрицательны. Но тогда из полученного равенства следует, что Х"(х) = 0, Х(0) = Х(1) = 0, следовательно, Х(х) = 0, что противоречит сделанному предположению. Стало быть, и предположение о том, что нуль есть собственное число задачи (3), (4) неверно.

Представление решения уравнения (3) зависит от знака выражения а(х) - - Л2Ъ(х). Покажем, что а(х)-Л2Ъ(х) > 0 Ух е (0,1). Зафиксируем произвольно х е (0,1) и найдём значения в этой точке функций а(х), Ъ(х), д(х). Запишем уравнение (3) в виде

Х"(х) + VХ (х) = 0, (5)

где мы обозначили

в выбранной фиксированной точке, а условия (4) запишем в виде

Х"(0) - аХ (0) = 0, Х"(1) + вХ (I) = 0, (6)

где а, в легко вычисляются.

Как известно, классическая задача Штурма-Лиувилля (5), (6) имеет счётное множество собственных функций при V > 0, откуда в силу произвольности х следует нужное неравенство.

Собственные функции задачи (3), (4) обладают свойством ортогональности с нагрузкой , выраженным соотношением

I (дХт(х)Хп(х) + ЪХ"т(х)Х"п(х))<х+ ■)о

М1Хт(0)Хп(0) + М2Хт(1)Хп (I) = 0, (7)

которое можно получить стандартным способом (см., например, ), реализация которого в случае рассматриваемой задачи связана с элементарными, но кропотливыми вычислениями. Приведём кратко его вывод, опустив аргумент функций Хг(х) во избежание громоздкости.

Пусть Лт, Лп - различные собственные числа, Хт, Хп - соответствующие им собственные функции задачи (3), (4). Тогда

{(а - Л2тЪ)Х"т)" + Л2тдХт = 0, {(а - Л2пЪ)Х"п)" + Л2пдХп = 0.

Умножим первое из этих уравнений на Хп, а второе на Хт и вычтем из первого второе. После элементарных преобразований получим равенство

(Лт - Лп)ЯХтХп = (аХтХП)" - ЛП(ЪХтХ"п)" - (аХ"тХп)" + Лт(ЪХтХп)",

которое проинтегрируем по промежутку (0,1). В результате, учитывая (4) и сокращая на (Лт - Лп), получим соотношение (7).

Доказанные утверждения о свойствах собственных чисел и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля (3), (4) позволяют применить для отыскания решения поставленной задачи метод разделения переменных.

3. Разрешимость задачи. Обозначим

С(СТ) = {и: и е С(Ст) П С2(Ст), иихх е С^т)}.

Теорема 1. Пусть а,Ъ е С1 , д е С. Тогда существует не более одного решения и е С^т) задачи (1), (2).

Доказательство. Предположим, что существует два различных решения задачи (1), (2), и1(х,г) и и2(х,г). Тогда, в силу линейности задачи, их разность и = и1 - и2 является решением однородной задачи, соответствующей (1), (2). Покажем, что её решение тривиально. Предварительно заметим, что из физического смысла коэффициентов уравнения и краевых условий функции а, Ъ, д положительны всюду в Qт, а М^, К^ неотрицательны.

Умножив равенство (1) на щ и проинтегрировав по области Qт, где т е и произвольно, после несложных преобразований получим

/ (ди2(х,т) + аи2х(х,т) + ЪиХл(х,т))йх+ ./о

К1и2(0, т) + М1и2(0, т) + К2и2(1, т) + М2и2(1, т) = 0,

откуда в силу произвольности т сразу вытекает справедливость утверждения теоремы. □

Доказательство существования решения проведём для случая постоянных коэффициентов.

Теорема 2. Пусть <р е С2, <р(0) = <р(1) = (0) = ц>"(\) = 0, имеет кусочно непрерывную производную третьего порядка в (0,1), ф е С 1, ф(0) = ф(1) =0 и имеет кусочно непрерывную производную второго порядка в (0,1), f е С(С^т), тогда решение задачи (1), (2) существует и может быть получено в виде суммы ряда по собственным функциям.

До к а з а т е л ь с т в о. Будем, как обычно, искать решение задачи в виде суммы

где первое слагаемое - решение поставленной задачи для однородного уравнения, соответствующего (1), второе - решение уравнения (1), удовлетворяющее нулевым начальным и граничным условиям. Воспользуемся результатами проведённых в предыдущем пункте исследований и запишем общее решение уравнения (3):

X(x) = Сг cos A J-+ C2 sin Aw-^rrx.

\¡ a - A2b \¡ a - A2b

Применив краевые условия (4), приходим к системе уравнений относительно Cj!

(a - A2b)c2 - (Ki - A2Mi)ci = 0,

(-A(a - A2b) sin Ayja-A¡bl + (K - A2M2) cos A^O-A^l) ci+

Приравнивая нулю ее определитель, получаем спектральное уравнение

ctg= {а - A4)A2" - (K - A?Mí)(K2 - A"M). (8)

ь Va - A2b A^q(a - A2b)(Ki + K2 - A2(Mi + M2))

Выясним, имеет ли это трансцендентное уравнение решения. Для этого рассмотрим функции, стоящие в левой и правой его частях, и исследуем их поведение. Не слишком ограничивая общность, положим

Mi = M2 = M, Кг = K2 = K,

что позволит слегка упростить необходимые вычисления. Уравнение (8) принимает вид

х I q , Aja - A2b Jq К - A2M ctg A\Z-^l =

a - A2b 2(K - A2M) 2А^^0-А2Ь" Обозначим

и запишем в новых обозначениях спектральное уравнение!

aqlß Kql2 + ß2 (Kb - aM)

2Kql2 + 2^2(Kb - aM) 2/j.aql

Анализ функций левой и правой частей последнего уравнения позволяет утверждать, что существует счётное множество его корней и, стало быть, счётное множество собственных функций задачи Штурма-Лиувилля (3), (4), которые с учетом соотношения, полученного из системы относительно c¿, можно выписать

v / л л I q K - х2пм. л i q

Xn(x) = COS XnJ-гутx + ----sin XnJ-гтутX.

V a - A2b AnVa - ftb^q V a - A2b

Теперь перейдём к отысканию решения, удовлетворяющего и начальным условиям. Решение задачи для однородного уравнения мы теперь легко найдём в виде ряда

u(x,t) = ^ Tn(t)Xn(x),

коэффициенты которого можно найти из начальных данных, пользуясь свойством ортогональности функций Xn(x), норма которых может быть получена из соотношения (7):

||X||2 = f (qX2 + bX%)dx + MiX2(0) + M2x2(l). ■Jo

Процесс нахождения функции v(x,t) также является, по существу, стандартным, но мы всё же заметим, что, отыскивая решение в традиционном виде

v(x,t) = ^ Tn(t)Xn(x),

мы получаем два уравнения. Действительно, учитывая вид собственных функций, уточним структуру ряда, в виде которого мы ищем решение:

j(x,t) = ^ (Vn(t)cos Xn^J a b x+

Wn(t) K-XnM~ sin Х^ГАягx). (9)

v JXnVa - xnb^q V a - xn "

Для выполнения нулевых начальных условий у(х, 0) = у^х, 0) = 0 потребуем, чтобы Уп(0) = УП(0) = 0, Шп(0) = Ш(0) = 0. Разложив f(х,г) в ряд Фурье по собственным функциям Хп(х), найдём коэффициенты ¡п(Ь) и дп(Ь). Подставив (9) в уравнение (1), записанное относительно у(х,Ь), после ряда преобразований получим уравнения для отыскания Уп(Ь) и Шп(Ь):

уц® + >&пЮ =

™ + xn Wn (<) = Xn (-a-iKrW g

Учитывая начальные условия Уп(0) = У,(0) = 0, Шп(0) = Ш,(0) = 0, приходим к задачам Коши относительно каждой из функций Уп(Ь) и Шп(Ь), однозначная разрешимость которых гарантирована условиями теоремы. Свойства начальных данных, сформулированные в теореме, не оставляют сомнений в сходимости всех рядов, возникших в ходе наших исследований и, стало быть, в существовании решения поставленной задачи. □

Заключение. Доказано существование ортогональной с нагрузкой системы собственных функций исследуемой задачи и получено их представление.

Установленные свойства собственных функций позволили доказать существование единственного решения поставленной задачи. Отметим, что полученные в статье результаты могут быть использованы как для дальнейших теоретических исследований задач с динамическими граничными условиями, так и для практических целей, а именно для расчёта продольных колебаний широкого круга технических объектов.

Александр Борисович Бейлин: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Нерубай М. С., Штриков Б. Л., Калашников В. В. Ультразвуковая механическая обработка и сборка. Самара: Самарское книжное изд-во, 1995. 191 с.

2. Хмелёв В. Н., Барсуков Р. В., Цыганок С. Н. Ультразвуковая размерная обработка материалов. Барнаул: Алтайский технический ун-т им. И.И. Ползунова, 1997. 120 с.

3. Кумабэ Д. Вибрационное резание. М.: Машиностроение, 1985. 424 с.

4. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 2004. 798 с.

5. Стретт Дж. В. Теория звука. Т. 1. М.: ГИТТЛ, 1955. 504 с.

6. Rao J. S. Advanced Theory of Vibration: Nonlinear Vibration and One Dimensional Structures. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1992. 431 pp.

7. Федотов И. А., Полянин А. Д., Шаталов М. Ю. Теория свободных и вынужденных колебаний твердого стержня, основанная на модели Рэлея// ДАН, 2007. Т. 417, №1. С. 56-61.

8. Bazant Z., Jirasek M. Nonlocal Integral Formulations of Plasticity and Damage: Survey of Progress// J. Eng. Mech., 2002. vol.128, no. 11. pp. 1119-1149. doi: 10.1061/(ASCE) 0733-9399(2002)128:11(1119).

9. Бейлин А. Б., Пулькина Л. С. Задача о продольных колебаниях стержня с динамическими граничными условиями// Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2014. №3(114). С. 9-19.

10. Корпусов М. О. Разрушение в неклассических волновых уравнениях. М.: URSS, 2010. 237 с.

Поступила в редакцию 10/II/2016; в окончательном варианте - 18/V/2016; принята в печать - 27/V/2016.

Vestn. Samar. Gos. Techn. Un-ta. Ser. Fiz.-mat. nauki

2016, vol. 20, no. 2, pp. 249-258 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1474

MSC: 35L35, 35Q74

A PROBLEM ON LONGITUDINAL VIBRATION OF A BAR WITH ELASTIC FIXING

Samara State Technical University,

244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation.

In this paper, we study longitudinal vibration in a thick short bar fixed by point forces and springs. For mathematical model we consider a boundary value problem with dynamical boundary conditions for a forth order partial differential equation. The choice of this model depends on a necessity to take into account the result of a transverse strain. It was shown by Rayleigh that neglect of a transverse strain leads to an error. This is confirmed by modern nonlocal theory of vibration. We prove existence of orthogonal with load eigenfunctions and derive representation of them. Established properties of eigenfunctions make possible using the separation of variables method and finding a unique solution of the problem.

Keywords: dynamic boundary conditions, longitudinal vibration, loaded orthogonality, Rayleigh"s model.

Alexander B. Beylin: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860

1. Nerubai M. S., Shtrikov B. L., Kalashnikov V. V. Ul"trazvukovaia mekhanicheskaia obrabotka i sborka . Samara, Samara Book Publ., 1995, 191 pp. (In Russian)

2. Khmelev V. N., Barsukov R. V., Tsyganok S. N. Ul"trazvukovaia razmernaia obrabotka materialov . Barnaul, 1997, 120 pp. (In Russian)

3. Kumabe J. Vibration Cutting. Tokyo, Jikkyou Publishing Co., Ltd., 1979 (In Japanese).

4. Tikhonov A. N., Samarsky A. A. Uravneniia matematicheskoi fiziki . Moscow, Nauka, 2004, 798 pp. (In Russian)

5. Strutt J. W. The theory of sound, vol. 1. London, Macmillan and Co., 1945, xi+326 pp.

6. Rao J. S. Advanced Theory of Vibration: Nonlinear Vibration and One Dimensional Structures. New York, John Wiley & Sons, Inc., 1992, 431 pp.

Beylin A.B. A problem on longitudinal vibration of a bar with elastic fixing, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki , 2016, vol. 20, no. 2, pp. 249-258. doi: 10.14498/vsgtu1474. (In Russian) Author Details:

Alexander B. Beylin (Cand. Techn. Sci.; [email protected]), Associate Professor, Dept. of Automation Machine Tools and Tooling Systems.

7. Fedotov I. A., Polyanin A. D., Shatalov M. Yu. Theory of free and forced vibrations of a rigid rod based on the Rayleigh model, Dokl. Phys., 2007, vol.52, no. 11, pp. 607-612. doi: 10.1134/S1028335807110080.

8. Bazant Z., Jirasek M. Nonlocal Integral Formulations of Plasticity and Damage: Survey of Progress, J. Eng. Mech., 2002, vol.128, no. 11, pp. 1119-1149. doi: 10.1061/(ASCE) 0733-9399(2002)128:11(1119).

9. Beylin A. B., Pulkina L. S. A promlem on longitudinal vibrations of a rod with dynamic boundary conditions, Vestnik SamGU. Estestvenno-Nauchnaya Ser., 2014, no. 3(114), pp. 919 (In Russian).

10. Korpusov M. O. Razrushenie v neklassicheskikh volnovykh uravneniiakh . Moscow, URSS, 2010, 237 pp. (In Russian)

Received 10/II/2016;

received in revised form 18/V/2016;

Обращаясь к основным дифференциальным уравнениям колебаний, мы заметим, что когда умножим их на – = к 2 , они будут содержать члены, из которых одни имеют коэффициентом квадрат скорости и поперечных колебаний, другие – квадрат скорости продольных колебаний.

Первыечлены в случае колебаний продольных должны исчезнуть из уравнений, и мы получаем первую группу:

Так как поверхность p по нашему выбору есть поверхность волны, то в уравнениях § 7 мы должны удержать одно колебание R и приравнять нулю колебания /?! и R. 2 , совершающиеся в плоскости, касательной к волне. Вследствие этого находим, полагая // =1:

Так как А = 0, то уравнения (1) примут вид:

Умножая первое из уравнений (2) на //i // 2 , дифференцируя по p и обращая внимание на уравнение (4), находим:

что по уравнениям (2) В не зависит ни от р х, ни от [–]. Следовательно, означая через &F частную производную от функции F по одной из переменных ^, р. 2 , мы получаем из уравнения (7):

Подставляя в это выражение величины Н 1 Н 2 , найденные в п.п. 3, приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях, мы находим следующие условия, которым должна удовлетворять волновая Ф – я

Известно, что подобные соотношения имеют место только для сферы, круглого цилиндра и плоскости.

Отсюда имеем, что изотермические волновые поверхности могут распространять колебания продольные.

Итак, если поверхность сотрясения или начальная волна не принадлежат к поверхностям изотермических волн, то вблизи их колебания происходят смешанные , но на значительных расстояниях волна приближается к виду одной из изотермических волн, и в явлении обнаруживаются колебания продольные. СТОП!!!

Остается проинтегрировать приведенные дифференциальные уравнения для сферы, с использованием гармонических функций!!!

Эксперименты Теслы – гармонический осциллятор – недопустим!!!

Для сферы в координатах, уже нами употреблённых, мы имеем:

Дальнейшие преобразования несущественны и не приводятся, так как приводят к исходному уравнению , не имеющему физического смысла для солитоноподобных волн.

Найденные выводы одинаково применимы к явлениям света в телах однородных и притом в тех пределах приближения, которые имеют место в теории Буссинеска!?

Отсюда: «болевой момент» выявлен.

Н. Умов математический сборник, т. 5, 1870 г. .

Ещё одна «страшная» неопределённость

Рассуждая аналогично, можно было бы легко получить подобное же выражение и для магнитной энергии, а следовательно и для токов. Мы видим, что, даже настаивая на самой простой из формул, проблему локализации энергии по-прежнему не удаётся решить .

И то же самое имеем для потока энергии. Можно преобразовать движение текущей энергии произвольным образом, добавляя к вектору Пойнтинга другой вектор (u, v, w), обязанный удовлетворять лишь уравнению несжимаемых жидкостей

Являющаяся следствием общих уравнений, ничего к ним не добавляет.

Поэтому локализация энергии логически бесполезна (а иногда, вредна).

Но имеется аспект, в котором важно рассмотреть теорему Пойнтинга.

Основным фактом, из которого проистекает закон сохранения энергии, был и остаётся экспериментально найденный факт невозможности вечного движения , факт – независимо от наших идей, и может, быть отнесён к порциям энергии, которой должен обладать эфир в отсутствие материальных тел.

Закон сохранения энергии , в его классической форме W = Const , объясняет эту невозможность.

Теорема Пойнтинга , требующая возможности преобразования объёмного интеграла (отчасти произвольного) в поверхностный, выражает гораздо меньше. Она легко допускает создание вечного движения, не будучи способна показать его невозможность !

По сути, пока мы не введём гипотезу запаздывающих потенциалов , непрерывное выделение энергии сходящихся волн, приходящих из бесконечности, остаётся столь же вероятным, сколь и потеря энергии, наблюдаемая в действительности.

Если бы двигатель мог вечно забирать одну лишь энергию эфира, независимо от присутствия материальных тел, то могло бы существовать и вечное движение . Таким образом, становится ясно, что прежде чем принять формулу запаздывающих потенциалов, мы должны доказать, что ускоренная частица теряет энергию и в результате подвергается противодействию, пропорциональному производной ее ускорения .

Достаточно лишь изменить знак c , чтобы прийти к гипотезе сходящихся волн.

Тогда мы обнаружим , что знак вектора излучения также изменится, и новая гипотеза приведёт, скажем, в случае вибрирующей частицы, к постепенному увеличению амплитуды с течением времени, а в целом – к увеличению энергии системы?!

В Природе солитоны бывают:

– на поверхности жидкости первые солитоны, обнаруженные в природе, иногда считают таковыми волны цунами

– различные виды гидроудара

– звуковые ударные – преодоление «сверхзвука»

– ионозвуковые и магнитозвуковые солитоны в плазме

– солитоны в виде коротких световых импульсов в активной среде лазера

– предположительно, примером солитона является Гигантский гексагон на Сатурне

– можно рассматривать в виде солитонов нервные импульсы , .

Математическая модель, уравнение Кортевега-де Фриза.

Одной из простейших и наиболее известных моделей, допускающих существование солитонов в решении, является уравнение Кортевега-де Фриза:

u t + uu x + βu xxx = 0.

Одним из возможных решений данного уравнения является уединённый солитон :

но и здесь осцилятором является гармоническая функция где r , s ,α, U – некоторые постоянные.

Теоремы неопределённости в гармоническом анализе

Гармонический осциллятор в квантовой механике – описывается уравнением Шредингера ,

(217.5)

Уравнение (217.5) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний.

Стационарные состояния квантового осциллятора определяются уравнением Шредингера вида

(222.2)

где Е – полная энергия осциллятора.

В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнение (222.2) решается только при собственных значениях энергии

(222.3)

Формула (222.3) показывает, что энергия квантового осциллятора квантуется.

Энергия ограничена снизу отличным от нуля, как и для прямоугольной «ямы» с бесконечно высокими «стенками» (сМ. § 220), минимальным значением энергии

E 0 = 1/2 ℏ w 0 . Существование минимальной энергии – называется энергией нулевых колебаний – является типичной для квантовых систем и представляет собой прямое следствие соотношения неопределенностей.

В гармоническом анализе принцип неопределённости подразумевает, что нельзя точно получить значения функции и её отображения Фурье – а значит и сделать точный расчёт .

То есть моделирование, генерация и аналогия с соблюдением принципов подобия процессов и форм в Природе, с применением гармонического осцилятора – не возможна.

Разных видов математических солитонов известно пока мало и все они не подходят для описания объектов в трехмерном пространстве, тем более процессов происходящих в Природе.

Например , обычные солитоны , которые встречаются в уравнении Кортевега–де Фриза, локализованы всего лишь в одном измерении, если его «запустить» в трехмерном мире, то он будет иметь вид летящей вперед бесконечной плоской мембраны, мягко говоря абракадабра!!!

В природе, такие бесконечные мембраны не наблюдаются, а значит, исходное уравнение для описания трехмерных объектов не годится.

Вот здесь и заключается ошибочность введения гармонических функций – осцилляторов, связи в случае смешанных колебаний. Связной закон подобия , , но это уже другая история, которая выведет, теорию солитонов из систематической неопределённости , .

Рассмотрим стержень длиной l , который в положении равновесия находится вдоль оси Ох. Его продольные колебания описываются функцией Q(x,t), представляющей собой в каждый момент времени t продольное смещение точки стержня, координата которой в положении равновесия была равна х. Предполагается, что натяжение в стержне подчиняется закону Гука. Тогда уравнение, описывающее продольное колебание стержня имеет вид:

где а – волновая скорость, м/с;

f(x,t) – удельная сила, м/с 2 .

Волновая скорость стержня определяется согласно выражению:

, (2.16)

где k – коэффициент упругости, Н;

ρ – линейная плотность (масса, приходящаяся на единицу длины стержня), кг/м.

Коэффициент упругости k может быть найден следующим образом:

, (2.17)

Е – модуль Юнга (напряжение, возникающее в образце при увеличении (уменьшении) его длины в два раза при прочих неизменных условиях), Н/м 2 .

Для однородного стержня k=const, ρ=const. В противном случае k(х), ρ(х).

Удельная сила, в свою очередь, может быть представлена в виде:

, (2.18)

где g(x,t) – линейная плотность продольной внешней силы (сила, действующая на единицу длины), Н/м.

Начальные условия задаются в виде:

– профиля начальных смещений:

– профиля начальной скорости:

. (2.20)

Граничные условия могут быть заданы для следующих случаев:

1) Первая краевая задача (граничные условия 1 рода):

где μ 1 (t), μ 2 (t) – заданные функции времени, описывающие закон

движения конца стержня.

Для жестко закрепленного конца μ(t)=0.

2) Вторая краевая задача (граничные условия 2 рода):

; (2.23)

, (2.24)

где T 1 , T 2 – сила натяжения, приложенная к концу стержня, Н.

В случае свободного конца, натяжение стержня вблизи него отсутствует (g(t)=0).

3) Третья краевая задача (граничные условия 3 рода):

. (2.25)

Данные условия формулируются в случае упругого закрепления стержня, при котором конец стержня может перемещаться, но возникает упругая сила, стремящаяся вернуть сместившийся конец в прежнее положение.

Сформулировать краевую задачу о продольных колебаниях однородного цилиндрического стержня, один конец которого заделан, а к другому концу приложена сила F(t)=A·sin(ωt), направление которой совпадает с осью стержня.

Функция Q(x,t), описывающая продольные колебания стержня определяется уравнением:

.

Начальные условия нулевые:

;

.

Граничные условия задаются в виде:

;

,

где S – площадь поперечного сечения стержня, м 2 ;

E – модуль Юнга материала стержня, Па (см. Приложение).

Общие замечания.

1) Если рассматривается колебательный процесс струны (стержня), у которой концы находятся достаточно далеко и в течение небольшого интервала времени влияние концов еще не успевает проявиться, то можно считать струну бесконечной. При этом рассматривается задача, в которой -∞

2) Если рассматриваемый участок струны (стержня) находится вблизи от одного его конца и далеко от другого, то рассматривается задача о полубесконечной струне, когда 0≤x<+∞ и граничные условия формулируются только на одном ее конце.